抛物线中有关角形面积最值问题探索——张美娟公开课.doc

抛物线中有关三角形面积最值问题探索 浙江省象山中学 张美娟 上课时间：2013.5.县师资培训暨骨干教师带徒第三小组活动 上课班级：高三（3）班 上课地点：象山中学微格教室 教学目标 知识目标: 1.掌握三角形面积的多种表示:公式法、水平分割、垂直分割,学会根据具体题情选择方法； 2.抛物线的图象与性质特征； 3.直线与抛物线的关系，设而不求方程组思想、点差法等解解析几何常规方法. 能力目标: 在解圆锥曲线的的关题目中,学会分析图形的静与动,抓住图形变化的主因,引起变化的关键因素. 情感、态度、价值观： 学生在自我建构与课堂交流中分析能力得以提高. 教学过程 引例 如图1，在直角坐标系中，点（1，）到抛物线：=（）的准线的距离为.点（，1）是上的定点，、是上的两动点，且直线平分线段. （1）求的值。 （2）求△面积的取值范围. 解：（1）由题意得，得. (2) （1，1）,中点，设直线， 由，得，. 设，，则+＝，＝－ 则//轴，对三角形进行水平分割成两个三角形与，即=+=＝＝.(，当＝1时，线段与重合). 变题1 当题目中“点（1，）到抛物线：=（）的准线的距离为”改为“点（，－1）到抛物线：=（）的准线的距离为”时，如何表示三角形面积会更利于运算. 反思1 此题背景设置相对比较简单，1)让学生快速进入圆锥曲线中求三角形面积的通性通法：公式法，合理选择水平分割法，或竖直分割法. 2)在求解直线与圆锥曲线位置关系中，运用设而不求方程组思想消元时，如何消元是否有讲究，对运算的精与简是否有影响？一看目标分析，此题对三角形进行水平分割后，目标函数表示的式子是用表示，消元可以考虑消转化成关于的特征方程更有利于运算.二看抛物线方程中的一次未知元是，在直线与抛物线联立方程组中，通常消去曲线方程中的一次未知元，运算会比较简洁，这是抛物线与椭圆、双曲线的区别.运用比较简单的问题背景唤醒学生的思维，让学生理解通性通法学会分析思考. 变题2 把引例中的条件“直线平分线段”改为“线段被直线平分”，其它条件不变. （1）求的值。 （2）求△面积的最大值. (2012年浙江高考文科第22题) 解：（2）抛物线方程为＝，（1，1）. 设，，线段AB的中点坐标为， 由题意得，设直线AB的斜率为k（k）. 由，得＝，得＝1， 直线的方程为－＝，即－2+2－＝0. 由，整理得－2+2－＝0， 所以＝4－4，+＝2，＝2－. 从而得=＝， 设点到直线的距离为，则＝， 设的面积为S，则=＝. 由＝4－40，得01. 令＝，则=（1－2），0. 由＝1－6＝0,得＝，所以＝. 变题3：己知点为抛物线的焦点，斜率为1的直线交抛物线于不同两点、．以为圆心，以、为半径作圆，分别交轴负半轴于、，直线、交于点． （1）判断直线与抛物线的位置关系，并说明理由； （2）连接，，，记,,,设直线在轴上的截距为，当何值时，取得最小值，并求出取到最小值时直线的方程. （宁波市2012届4月高考模拟文科） （1）解设，，由题意及抛物线定义知：，,则＝＝，直线－＝（－），即－2+＝0， 代入＝，得－2+＝0， ＝4－4＝0，直线与抛物线C相切. (2)解一： 由, 求得（，）， ＝＝－== ＝＝+== = = 直线,代入抛物线方程,消去整理得:, 则,得,+＝1，＝. ==,点到直线的距离 = = 令＝0，则＝（+）＝， ＝（－）＝， 在（0，）上单调递减，在上单调递增. 故，此时＝－， 所以的最小值为，直线的方程：＝+－. 解二：点到直线的距离＝＝. 点到直线的距离＝＝. =＝＝， 同理＝， ＝=， 得=.下面解法同解法一. 回顾与反思: 1.圆锥曲线有关综合问题,常需分析图形的静与动,抓住变化的关键因素. 2.“目标先行”是一个永远的话题 3.数、形两方面恰当地表示图形的位置关系和数量关系.几何关系如何用代数形式转化,是解圆锥曲线问题的关键.