利用导数研究函数的单调性问题.doc

利用导数研究函数的单调性问题 浙江省湖州中学 李连方 一．学情分析 本人任教的两个班级均侧文，数学基础较薄弱．学生已基本掌握利用导数对常系数的单调区间求解，但是对含参数单调性问题常常一筹莫展，找不到分类的标准或者分类不合理、不完整． 二．教学目标 用导数讨论函数的单调性，是运用导数解决函数的极值、函数的最值的基础，所以本节复习课首先要让学生理解函数单调性和导数的关系，会用导数讨论含参函数的单调性，让学生理解含参函数单调性问题实质是解不等式问题，而解不等式问题实质是根的问题．其次，逐步使学生意识到要合理准确地分类讨论问题，体会到分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要地对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，然后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”．在分类讨论时，时刻注意：一要分类对象确定，标准统一；二要不重复，不遗漏；三要分层次，不越级讨论． 三．教学重点和难点 本节课的教学重点是能使学生明确产生分类讨论的标准，能合理、准确和完整地进行分类讨论．本节课的教学难点是分类标准难以把握，本节课试图从方程的根的角度来突破难点． 四．教学设计 【例1】（《创计新设》第42页）已知函数，． （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调性． 分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）由题意得， 其中根为或． ①当时，若，则；若，则． 所以当时，函数f(x)在区间上为减函数，在区间上为增函数． ②当时，当或时，；当时，． 所以函数在区间与上为减函数，在上为增函数． 【设计意图】1．让学会认识到函数的单调性、函数的单调区间和极值等问题，最终归结到判断的符号问题上，而或，最终可转化为解不等式问题．若含参数，则含参数的不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题； 2．让学生体会解不等式实质在解不等式对应的方程的根． 【例2】（2008年浙江省高考试题改编）已知是实数，函数． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； 分析：函数的定义域为， ，其中方程根为． ①若即，则，有单调递增区间； ②若即，则当时，，当时，． 有单调递减区间，单调递增区间． 【设计意图】1．让学生意识到函数的单调性、最值、极值等函数性质问题时，必须优先考虑函数的定义域，并在解题时时刻注意其定义域； 2．让学生体会到讨论单调性的基本步骤：一看定义域；二算方程有无根（在实数范围）；三思在所给函数定义域内有无根． 【变形】已知是实数，函数，．讨论求函数的单调区间． 【设计意图】让学生板演和自主练习，能更好地使学生巩固如何把握分类讨论标准，让学生进一步领会分类讨论的思想． 【例2】（Ⅱ）设为在区间上的最小值．求的表达式． （Ⅱ）分析：函数的定义域为 ，其中方程根为． ①若即，在上单调递增，所以． ②若即，在上单调递减，所以． ③若即，在上单调递减，在上单调递增， 所以． 综上所述， 【设计意图】由于浙江省高考中导数在函数中的应用最常出现的问题是最值问题，让学生体会到，单调性的讨论是求解最值问题的关键． 【例3】（《创计新设》第42页）设函数，其中为常数． （Ⅰ）若，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调性． 分析（Ⅰ）略； （Ⅱ）函数的定义域为， ，其中， 对应方程， ①显然当时，故，此时有单调递增区间； ②若即时，恒成立，故，此时有单调递减区间； ③若即且时，设，． (i)当时，由韦达定理知，， 故当或时，有；当时，有． 故有单调递减区间和，单调递增区间． (ii)当时，注意当函数的定义域为，显然，故函数有单调递增区间． 综上可得： 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，故有单调递减区间和，单调递增区间． 【设计意图】1．让一部分优秀学生能掌握较为复杂一元二次不等式解集的分类，学会层层分类，做到不重复，不遗漏．其中解一元二次不等式分类标准一：首先判断二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小； 2．强化一元二次方程根的问题常常采用数形结合和韦达定理，渗透利用图像解不等式的方法． 3． 让学生反思答案中为什么会出现当“时，函数在上单调递增”．事实上利用复合函数可以得到当，一定单调递增，所以在解题仅仅需要考虑，从而简化计算．进一步可以引导学生判断单调性不要局限于导数，不盲目地使用导数，在解题时时要善于分析问题，从整体上、宏观上把握问题． 【备用】已知函数 ()．若函数f(x)在区间上不单调，求的取值范围． 分析：由题意得，因为函数在区间上不单调，所以方程在上有实数解，且无重根． 或，解得 另解：