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§2?7 矩阵的秩 《线性代数》 (第四版)教学课件 首页 上一页 下一页 结束 首页 上一页 下一页 结束 《线性代数》 (第四版)教学课件 给定一个m?n矩阵A? 它的标准形 由数r完全确定? 这个数也就是A的阶梯形矩阵中非零行的行数? 这个数便是矩阵A的秩? 定义2?12(k阶子式) 设A?(aij)是m?n矩阵? 从A中任取k行k列(k?min(m, n))? 位于这些行和列的相交处的元素? 保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式? 称为矩阵A的一个k阶子式? 举例 定义2?13(矩阵的秩) 设A为m?n矩阵? 如果A中不为零的子式最高阶数为r? 即存在r阶子式不为零? 而任何r?1阶子式皆为零? 则称r为矩阵A的秩? 记作r(A)?r? 定义2?12(k阶子式) 设A?(aij)是m?n矩阵? 从A中任取k行k列(k?min(m, n))? 位于这些行和列的相交处的元素? 保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式? 称为矩阵A的一个k阶子式? 举例 定义2?13(矩阵的秩) 设A为m?n矩阵? 如果A中不为零的子式最高阶数为r? 即存在r阶子式不为零? 而任何r?1阶子式皆为零? 则称r为矩阵A的秩? 记作r(A)?r? 说明 定义2?12(k阶子式) 设A?(aij)是m?n矩阵? 从A中任取k行k列(k?min(m, n))? 位于这些行和列的相交处的元素? 保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式? 称为矩阵A的一个k阶子式? 当A?O时? 规定r(A)?0? 因此? 0?r?min(m, n)? 当A为n阶矩阵? 且r(A)?n时? 称矩阵A为满秩矩阵? 定义2?13(矩阵的秩) 设A为m?n矩阵? 如果A中不为零的子式最高阶数为r? 即存在r阶子式不为零? 而任何r?1阶子式皆为零? 则称r为矩阵A的秩? 记作r(A)?r? 定义2?12(k阶子式) 设A?(aij)是m?n矩阵? 从A中任取k行k列(k?min(m, n))? 位于这些行和列的相交处的元素? 保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式? 称为矩阵A的一个k阶子式? 举例 当A为n阶矩阵? 且r(A)?n时? 称矩阵A为满秩矩阵? 定义2?13(矩阵的秩) 设A为m?n矩阵? 如果A中不为零的子式最高阶数为r? 即存在r阶子式不为零? 而任何r?1阶子式皆为零? 则称r为矩阵A的秩? 记作r(A)?r? 如果一个n阶矩阵A是满秩的? 则|A|?0? 因而A可逆? 反之亦然? 所以A可逆的充分必要条件是A满秩? 定义2?12(k阶子式) 设A?(aij)是m?n矩阵? 从A中任取k行k列(k?min(m, n))? 位于这些行和列的相交处的元素? 保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式? 称为矩阵A的一个k阶子式? 当A为n阶矩阵? 且r(A)?n时? 称矩阵A为满秩矩阵? 定义2?13(矩阵的秩) 设A为m?n矩阵? 如果A中不为零的子式最高阶数为r? 即存在r阶子式不为零? 而任何r?1阶子式皆为零? 则称r为矩阵A的秩? 记作r(A)?r? 说明 定理2?5 矩阵经初等变换后? 其秩不变? 对A每施以一次初等变换所得矩阵的秩与A的秩相同? 因而对A施以有限次初等变换后所得矩阵的秩仍然等于A的秩? ? 定理2?5 矩阵经初等变换后? 其秩不变? 求矩阵的秩的初等变换法 对A作一系列初等行变换? 将A化为阶梯形矩阵? 阶梯形矩阵中非零行的行数r即是矩阵A的秩r(A)? ? 阶梯形矩阵中非零行的行数为2? 故r(A)?2?