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* 第 一 篇 第三章 刚体力学基础 赵存虎 编制： 基本要求 1.掌握描述刚体定轴转动的角速度、线速度、角加速度，并会运用； 2.掌握刚体转动惯量、转动定律，并会运用； 3.掌握刚体定轴转动角动量定理及角动量守恒定律， 并会运用. .1. 1 第三章 刚体力学基础 3-1 刚体的基本运动 3-3 刚体定轴转动定律 3-2 转动惯量 3-4 刚体定轴转动中的功和能 3-5 刚体定轴转动的角动量定理和 角动量守恒定律 (Rigid Body Mechanics Foundation ) 2 平动的特征：同一时刻刚体上任意一点的运动状态可以代表整个刚体的运动状态. 3-1 刚体的基本运动 (The Basically Motion of Rigid Body) 刚体：形状和体积不变化的物体(理想模型). 一、刚体的平动 刚体上任意两质点间的连线在运动中保持平行. 如:电梯的升降、汽缸中活塞的运动等等. 3 Z 刚体上各质点都绕同一固定直线作圆周运动. 二、刚体的定轴转动 转轴 参考轴 Z O X p 角位置 转动平面 4 三、定轴转动的运动学描述 (演示) 角位移 角速度矢量 (演示) o 刚体上某质点的线速度 . 角加速度 5 刚体定轴转动的特征：刚体上各质点在同一时刻的角速度?及角加速度? 均相同. 刚体上某质点的切向加速度和法向加速度 6 刚体匀角加速转动： Z 3-2 转动惯量 (Rotational Inertia) 一、质点对固定转轴的转动惯量 7 o O’ 二、刚体对固定轴的 转动惯量 国际单位： r 质点m到转轴的距离 转动惯量是衡量物体转动惯性大小的物理量. 转动惯量的物理意义： 三、质量连续分布的刚体的转动惯量计算 r 为刚体上质元 dm 到转轴的距离 8 注2：若将圆盘变形为同半径的圆环，则其转动惯量为mR2.可见，转动惯量与质量对轴的分布有关. 例题1：求质量为m，半径为R，厚度为h，密度均匀的圆盘对通过质心并与盘面垂直的转轴的转动惯量. 解： 9 注1：密度均匀的圆柱体对几何轴的转动惯量与柱体长度无关，均可用mR2/2 计算； h X O l X O l 例题2：计算质量为m、长为l的均匀细棒对以下三种转轴的转动惯量：(1)通过棒的中心并与棒垂直；(2)通过棒的一端并与棒垂直；(3)通过棒上距中心为h的一点并与棒垂直. x 解： (1) (2) x 10 综上可见，刚体的转动惯量的大小主要与以下三个因素有关： (1)与刚体总质量有关； (2)与轴的位置有关； (3)与质量对轴的分布有关. X O l h x (3) 11 四、平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量J，等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量JC再加上刚体质量m与两轴间距离d 的平方的乘积. d 过质心C的轴 C 例如：转轴通过棒上距中心C为h的一点O，并与棒垂直. O l h C 某一轴 O O’ 12 2) 在不计轴的摩擦及F//很小情况下，通常F// 对O点的力矩对刚体绕 Z轴转动的影响可以忽略不计. 3-3 刚体对定轴的转动定律 (Rotation Law of Rigid Body about Affixed Axis) 一、外力对固定转轴的力矩 O P 其中 1) MZ对刚体的定轴转动起决定作用； 两点说明： 13 合力矩： 各力矩的代数和 Z 二、刚体对固定转轴的转动定律 O mi 14 注：转动定律在刚体绕定轴转动中的地位和牛顿第二定律在平动中的地位相当 15 例题3：半径为R的轮子缠绕不可伸长的轻绳与质量为m的重物相联，绳与轮子之间无相对滑动，转轴光滑. 物体从距地面h高处由静止开始释放，落地所用时间为t . 求轮子对定轴O的转动惯量. (此题给出了测量刚体转动惯量的一种方法) 解：动力学方程 ? T G · R N 16 对轮子 对重物 运动学关系 由(1)至(4)式联立解得 (1) 分析：当h和m一定时，t 越长，表明J越大； m a R t h m v0=0 绳 · (2) (3) (4) 3-4 刚体定轴转动中的功和能 一. 力矩的功 设 在转动平面内 变力矩的功： (Work and Energy of Rigid Body about Affixed Axis) 17 Z O P 上式称为刚体绕定轴转动的动能定理，即：刚体所受合外力矩的功，等于刚体转动动能的改变量. 二、刚体绕定轴转动的动能定理 其中 称为刚体绕定轴的转动动能. 18 故 3-5 刚体定轴转动的角动量定理和 角动量守恒定律 (Angular Momentum Theorem and Angular Momentum