概率试卷A12-13-1本科评分标准.doc

2012－2013学年 第1学期 概率论与数理统计A卷评分标准 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）. 1．事件，则等于 （A） （B） （C）； （D）的分布律为，则概率等于 （A）； （B）； （C）； （D）. 答:（ D ） 3．已知随机变量,相互独立，且分布律为 则下列选项正确的是 （A）； （B）； （C）； （D）. 答:（ C ） 4．设是任意两个连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为，分布函数分别为，则有 （A）必为某一随机变量的概率密度函数； （B）必为某一随机变量的概率密度函数； （C）必为某一随机变量的分布函数； （D）必为某一随机变量的分布函数. 答:（ A ） 5. 设是来自正态总体的简单随机样本. 记, , 则下列选项不正确的是 （A）； （B）； （C）； （D）. 答:（ B ） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）. 6. 已知随机变量的概率密度为=3. 7. 二维随机变量的联合概率密度函数为，则 =. 8. 设随机变量相互独立，且服从区间上的均匀分布,服从二项分布,令，则=4.6. 9．某化肥厂用自动打包机包装化肥．现从此化肥厂生产的一批化肥中随机抽取袋，测其重量（单位：千克）,得样本均值，样本标准差，设每包化肥的质量服从正态分布,其中都为未知参数.则的置信度为的置信区间为（结果保留到小数点后面两位）. （备用数据：，，） 10. 有一批建筑房屋用的木柱，其的长度不小于.现从这批木柱中随机地取出根，其中至少有根短于的概率） 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）. 11．某发报台以和的概率分别发出信号“”和“-”，由于电波受干扰，发“”时，收报台分别为以和的概率收到“”和“-”，而发“-”时，收报台分别为以和的概率收到“-”和“”，求当收到信号“”时，发报台确实发出信号“”的概率. 解：设表示发出信号“”；表示收到信号“”，则所求概率为 12．已知随机变量的概率密度函数为 , 求：（1）；（2）. 解：（1）由密度函数的性质 （2）由题意 13. 设二维随机变量的概率密度为 （1）； （2）关于的边缘概率密度，并判断是否独立. 解：（1）由题意 （2）由边缘密度函数的定义 因为，故不独立 14．已知连续型随机变量的分布函数为 ， （1）确定常系数；（2）求；（3）求的概率密度函数. 解：（1）由分布函数的性质 因此可得 （2）由分布函数的性质 （3）由概率密度函数的性质 15.设二维随机变量的为 其中为常数，的数学期望. 求：（1）的值；（2）. 解：（1）由题意，可得关于的边缘分布律为， 故，即 由可得即 又，可得 故 （2）由（1），关于的边缘分布律为, 则 又的分布律为，则 故 16．设总体的概率密度函数为 , 其中是未知参数. 若是来自该总体的一个容量为的简单样本，求的最大似然估计量. 解： 故 四、证明题（本大题共1个小题，5分）. 17．若连续型随机变量的分布函数严格单调递增，设, 证明: 服从区间上的均匀分布. 证明：设的分布函数为，则有 当时， 当时， 当时， 故，即 五、应用题（本大题共1个小题，5分）. 18. 某工厂由自动线加工某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于或大于为不合格品，其余为合格品.元的价格销售，内径小于内径大于元的价格销售.问：取何值时，销售一个零件的平均利润最大） 解：设为销售一个零件获取的利润，则，故销售一个零件的平均利润 令 得  两边取对数解得 易验证，即为的最大值点，即平均直径取销售一个零件的平均利润最大 概率论与数理统计A卷评分标准 共5页 第3页 3 概率论与数理统计（理工类46学时）A卷 共6页 第1页