可拓集合及其应用研究.doc

可拓集合及其应用研究 杨春燕，张拥军，蔡文 ???????????? （广东工业大学可拓工程研究所, 广东 广州 510080 ）??????????????????????????? 关键词：可拓集合；关联函数；可拓变换；可拓不等式 1?????? 引? 言 集合是描述人脑思维对客观事物的识别与分类的数学方法。客观事物是复杂的，处于不断运动和变化之中，因此，人脑思维对客观事物的识别和分类并不只有一个模式，而是多种形式的，从而描述这种识别和分类的集合也不应是唯一的，而应是多样的。 数 学中的矛盾方程、矛盾不等式所描述的问题原形，实际上很多是有解的，认为“无解”的原因，在很多情况下，是因为只考虑数量关系而没有把事物和特征引入数 学。例如“曹冲称象”问题，只考虑数量关系是无法解决的，即是矛盾问题，但事实上它是有解的。为此，有必要把解决矛盾问题的过程形式化，并建立相应的数学 工具使之定量化。1983年，文[1]提出了可拓集合及其可拓域、稳定域、零界等概念，用它们来描述“是”与“非”的相互转化，从而能定量地表述事物的质变和量变的过程，而零界概念则描述了事物“既是又非”的质变点。这些为矛盾问题的解决提供了合适的数学工具。 文献[1-3]中用一元组建立了可拓集合的初步定义，文献[4]引进了变换T ，用二元组来规定可拓集合，并定义了可拓集合的正域、负域、零界、可拓域、稳定域等，但由于它用两个定义共同来描述元素的可变性及量变和质变的过程，因而难以从可拓集合直接反映出“是”与“非”相互转化的形式化描述，在此定义中涉及到的变换T只是对元素的变换。文献[5-8]又将变换T扩展为对关联函数或对论域的变换。 为了概括十多年来对可拓集合研究的成果，使可拓集合的定义能直接描述元素性质的可变性和量变、质变的过程，我们用三元组（u, y, y’）和可拓变换T=(TU , Tk , Tu)来规定可拓集合。本文首先介绍扩展的可拓集合概念，并以此为基础进行讨论。 2?????? 扩展的可拓集合概念[9] 2.1 可拓集合的基本概念——关于元素变换的可拓集合 定义1 ?设U为论域，k 是U到实域I的一个映射，T为给定的对元素的变换，称 (T)={ (u, y, y’)∣u∈U,? y=k(u)∈I,? y’=k(Tu)∈I } 为论域U上关于元素变换的一个可拓集合，y=k(u)为 (T )的关联函数，y’=k(Tu)为 (T ) 关于变换T的关 联函数，称为可拓函数。 （1）?????? 当T=e（e为幺变换） 时，记 (e)= ={ (u, y)∣u∈U,? y=k(u)∈I }[3] ，称 A={ (u, y)∣u∈U,? y=k(u)≥0 } 为 的正域；???????????????????????? ???????? ??????? ={ (u, y)∣u∈U,? y=k(u)≤0 } 为 的负域； J0={ (u, y)∣u∈U,? y=k(u)= 0 } 为 的零界。 （2）?????? 当T≠e 时，称 +(T )= { (u, y, y’)∣u∈U,? y=k(u)≤0 , y’=k(Tu)≥0}为 (T )的正可拓域； -(T )= { (u, y, y’)∣u∈U,? y=k(u)≥0 , y’=k(Tu)≤0 }为 (T )的负可拓域； A+(T )= { (u, y, y’)∣u∈U,? y=k(u)≥0 , y’=k(Tu)≥0}为 (T )的正稳定域； A-(T )= { (u, y, y’)∣u∈U,? y=k(u)≤0 , y’=k(Tu)≤0}为 (T )的负稳定域； J0(T )= { (u, y, y’)∣u∈U,? y’=k(Tu) =0}为 (T )的拓界。 2.2 可拓集合的一般概念 定义1是关于元素变换的可拓集合。定义1中假定论域U和关联准则k都是固定的，但在实际问题中，U和k也是可以改变的。为了体现这两种变换下的可拓集合，我们给出如下的一般定义。 定义2? 设U为论域，k 是U到实域I的一个映射，T=(TU ,Tk, Tu)为给定的变换，称 (T )={ (u, y, y’)∣u∈TUU,? y=k(u)∈I,? y’= Tk k(Tu u)∈I } 为论域TUU上的一个可拓集合，y=k(u)为 (T)的关联函数，y’= Tk k(Tu u)为 (T)的可拓函数。其中TU 、Tk 、Tu分别为对论域U、关联函数k(u) 和元素u的变换。这里规定：当u∈TUU-U时，y=k(u)0。 （1）?????? 当TU=e , Tk=e , Tu=e 时， (T)= ， 即定义1的（1）。 （2）?????? 当TU=e , Tk=e 时，TUU=U，Tk k=k, (T)= (Tu)，此可拓集合为关于元素u变换的可拓集