初等数学研究答案第一到第三章.doc

习题一 1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A扩展后得到新数系为B，则数系扩展原则为： A的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B中被重新定义。而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。 在A中不是总能实施的某种运算，在B中总能施行。 在同构的意义下，B应当是A的满足上述三原则的最小扩展，而且有A唯一确定。 数系扩展的方式有两种： 添加元素法。 构造法。 对自然数证明乘法单调性：设则 （3） 证明：（1）设命题能成立的所有C组成集合M。 由归纳公理知，所以命题对任意自然数成立。 （P17定义9） 由（1）有 （P17.定义9） 或： 对自然数证明乘法消去律： （1） （2） （3） 证明（1）（用反证法） 方法同上。 方法同上。 依据序数理论推求： 解： （P16.例1） （2） 5、设，证明是9的倍数。 证明： 则当n=k+1时： 。 。 由①，②知，对于任一自然数n成立。 用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明： ( ( 。 由(、(知，对任意自然数n命题成立。 7、 。 解：（1） （2） （3） 所得的各个数皆为自然数， 因此， 。 证明： 证明整数集具有离散性. 证明： （反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a和a+1之间存在。 依据加法单调性， ， 即 .这就和自然数集具有离散性相矛盾。 证明：有理数乘法满足结合律。 证明： （1） 当a,b,c中至少有一个为零。（1）显然成立。设a,b,c都不为零。 因为算术数乘法满足结合律，故。故（1）两边的绝对值相等。如果a,b,c中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果a,b,c中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。因此（1）成立。 指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环： ； ； ； ； ； ；； 。 答： 加，乘，成环 乘，除 加，乘 加，乘 加，乘，除 乘 加，乘，成环 加，乘，成环 设有n个正分数 （分母为正分数） 求证：. 证明： 设 (1) 即 (2) (3) (n) . 14.已知近似数2315.4的相对误差界是，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。 故近似数精确到个位 所以有效数字有4个 19.辨别下面的断语有无错误，错在哪里？ （1）复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应。 （2）两复数的和与积都是实数的充要条件是：这两个复数是共轭复数。 （3）共轭虚数的正整数次幂仍是共轭虚数。 （4）一个非零复数与它的倒数之和为实数的充要条件是它的模等于1。 答：都有错误。 所有向量改为：所有以原点为起点的向量。 是充分条件而非必要条件。 共轭虚数应改为：共轭复数。 是充分条件而非必要条件。 20.证明：当n为3的倍数时， 而当n是其它正整数时，上式左边等于-1。 22、 习题二 习题二 1. 2. 3.解： 4.证明：（1）因 又 所以 （2）设 因为 故由因式定理可知，x-1是P(x),Q(x)和R(x)的因式，又根据（2），x-1也是F(x),S(x)的因式，但x-1不是F(x)的因式，所以x-1是Ｓ（ｘ）的因式 5. 6.解：由试除法知，当k=2时，有一次因式，为了探求二次因式，可用待定系数法，求得当k=1时， 由（4），有 …………………. 7.解：（1）原式= = （2）原式= = （3）此多项式是对称多项式。当x=-（y+z）时， 所以f（x,y,z）有因式（x+y+z），因原式为三次式，故还有另一个二次对称式的因式，设， 令x=1,y=1,z=0.得，2=（2m+n）即2m+n=1…………………………(1) 令x=1,y=1,z=1.得，9=3(3m+3n)即m+n=1…………………………….(2) 由（1）（2）得