九年级上数学《24.1.2垂径定理》2.ppt

1.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形,用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D E└ CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 符号语言 图形语言 温故而知新 垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 ∴ CD⊥AB, ∵ CD是直径， AE=BE ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E （1）如何证明？ · O A B C D E 已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE. 证明：连接OA，OB，则OA=OB ∵ AE=BE ∴ CD⊥AB ∴ AD=BD, ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB，且AD=BD, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC ⌒ ⌒ AC =BC ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧. ●O A B C D └ M 课堂讨论 根据已知条件进行推导： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 ① ⑤ ③④② ① ④ ③②⑤ ①③ ②④⑤ ① ④ ⑤ ② ③ （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。 ①② ③④⑤ 只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个. (4)若 ，CD是直径, 则 、 、 . (1)若CD⊥AB, CD是直径, 则 、 、 . (2)若AM=MB, CD是直径, 则 、 、 . (3)若CD⊥AB, AM=MB, 则 、 、 . 1.如图所示: 练习 ●O A B C D └ M AM=BM ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD CD⊥AB ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD CD是直径 ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ AC=BC CD⊥AB AM=BM ⌒ ⌒ AD=BD 试一试 2.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧. ( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧. ( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. ( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. √ ? ? ? √ O A B O A B 已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。 E E D D 练习 你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗? 37.4m 7.2m A B O C D 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37.4m，CD=7.2m ∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ ∴ 解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m. ⌒ ⌒ 回顾与思考 这节课你有什么收获？ 还有哪些疑问？ * * * * * * * * * * * * *