积分与数的MATLAB实现.doc

积分与级数 1 积分问题 求解方法： Q=quad(F,0,2); %自适应法Simpson法 F=int(f,x); F=int(f,x,a,b); 1.1 定积分的数值解 例：绘制积分区域 f=inline(x.^3-x.^2+2*x+1);figure; hold on fplot(f,[-1000,1000]) patch([-600 -600:800 800],[0 f(-600:800) 0],r); 例：计算x.^3-x.^2+2*x+1的定积分 内联函数M函数f=inline(x.^3-x.^2+2*x+1); Q = quad(f,0,2);function y = myfun(x) y= x.^3-x.^2+2*x+1;Q = quad(@myfun,0,2);  针对函数值序列的数值积分 trapz(sin(0:0.01:pi))*0.01 % 梯形数值积分 例：编程实现上例功能 自定义数值积分函数function area=getarea(f,x1,x2) delta=0.01; % 子区间的宽度 x=x1:delta:x2; y=feval(f,x); area=cumsum(y)*delta;area=getarea(f,0,2); area(end)area=getarea(@myfun,0,2); area(end) 1.2 不定积分的解析解 例：已知，计算，并验证之。 syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); F=int(f,x); f0=diff(F,x); simple(f0)-f % 0 figure; subplot(2,1,1); ezplot(f,[-1 6]); subplot(2,1,2); ezplot(F,[-1 6]); 4次积分、求导验证 F=int(int(int(int(f)))); f0= diff(F,4); simple(f0)-f % 0 例：考虑不可积问题和。 syms x; F=int(exp(-x^2/2)) % F= 1/2*pi^(1/2)*2^(1/2)*erf(1/2*2^(1/2)*x) syms a x; G=int(x*sin(a*x^4)*exp(x^2/2)) 1.2 定积分和无穷积分 例：计算 syms x t; f=(-2*x^2+1)/(2*x^2-3*x+1)^2; I=int(f,x,cos(t),exp(-2*t)); I=simple(I); figure; subplot(2,1,1); ezplot(f,-20,20); subplot(2,1,2); ezplot(I,-20,20);  例：考虑不可积问题的定积分。 syms x; I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5); vpa(I1,10); I2=int(exp(-x^2/2),x,0,inf); vpa(I2,10); % 图示无穷积分的渐进过程 y1=[]; for x1=0:0.1:10; I1=int(exp(-x^2/2),x,0,x1); y1=[y1 vpa(I1,10)]; end plot(0:0.1:10, double(y1),.-); 1.3 多重积分 例：对的偏导数求积分。 syms x y z; f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2); df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z); df=simple(df); % 积分次序1 f1=int(df,z); f1=int(f1,y); f1=int(f1,x); f1=int(f1,x); f1=simple(f1); % 积分次序2 f2=int(df,x); f2=int(f2,x); f2=int(f2,y); f2=int(f2,z); f2=simple(f2); simple(f2-f1)?; % 值为0 例：计算的值。 syms x y z; I=int(int(int(4*x*z*exp(-x^2*y-z^2),x,0,2),y,0,pi),z,0,pi); vpa(I,6) 2 函数的级数展开与级数求和 2.1 单变量的Taylor幂级数展开 求解方法： x=0处的展开式：(maclaurin展开式) x=a处的展开式：(Taylor展开式)  taylor(f,x,n); 例：在x=2和x=a处，展开。 % 原函数 syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); xs=0:0.1:3; ys=subs(f,x,xs); plot(