2024_2025学年新教材高考数学第一章空间向量与立体几何1空间向量及其运算精讲含解析新人教A版选择性必修第一册.docx
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空间向量及其运算
考点一概念的辨析
【例1】（2024·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（）
A．同平面对量一样，随意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.
B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.
C.零向量：模长为0的向量.真命题.
D.共线的单位向量是相等向量或相反向量.假命题.故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·全国高二课时练习）在下列命题中：
①若向量共线，则所在的直线平行；
②若向量所在的直线是异面直线，则肯定不共面；
③若三个向量两两共面，则三个向量肯定也共面；
④已知三个向量，则空间随意一个向量总可以唯一表示为.
其中正确命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】此题考查向量的学问点；对于①：依据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：依据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A
2.（2024·全国高二课时练习）在下列命题中：
①若、共线，则、所在的直线平行；
②若、所在的直线是异面直线，则、肯定不共面；
③若、、三向量两两共面，则、、三向量肯定也共面；
④已知三向量、、，则空间随意一个向量总可以唯一表示为.
其中正确命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】①若、共线，则、所在的直线平行或重合；所以①错；
②因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以②错；
③若、、三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此、、三向量不肯定共面；所以③错；
④若三向量、、共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以④错.
故选：A.
考法二空间向量的线性运算
【例2】2024·江西赣州.高二期中（理））在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，所以
，即.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·南昌市八一中学）如图，空间四边形中，，且，，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，又因为，
所以.故选：C
2．（2024·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依据空间向量的线性运算可知
因为,，则即，
故选：D.
3．（2024·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】-＝，，∴+（-）．
故选C．
考点三空间向量的共面问题
【例3】（2024·全国高二）在下列条件中，使与，，肯定共面的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，由于，所以不能得出共面.
对于B选项，由于，所以不能得出共面.
对于C选项，由于，则为共面对量，所以共面.
对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：C
【一隅三反】
1．（2024·全国高二）O为空间中随意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．
【答案】
【解析】P，A，B，C四点共面，且，，解得.故答案为:
2．（2024·全国高二）已知点M在平面ABC内，并且对空间随意一点O，有，则x＝________.
【答案】
【解析】已知且M，A，B，C四点共面，
则，解得x=
3．（2024·随州市第一中学高二期中）空间四点共面，但随意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为空间四点共面，但随意三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得.故选A
4．（2024·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．，．求证：四点E，F，G，H共面
【答案】证明见解析
【解析】
∵；∴；
EF//AB，且EF＝|k|AB；
同理HG//DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；
∴EF//HG，且EF＝HG；
∴四边形EFGH为平行四边形；
∴四点E，F，G，H共面.
考点四空间向量的数量积
【例4】（2024·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD﹣A