河北省张家口市第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）.docx
张家口市第一中学高一年级下学期第一次月考数学试题
考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，，，若，则（）
A. B. C.0 D.1
2.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的递增区间是（）
A.， B.，
C.， D.，
3.若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（）
A. B. C.或 D.或
4.定义：，其中为向量与的夹角.若，，，则（）
A. B. C.6 D.－6
5.设，且，则（）
A. B. C. D.
6.在中，，则一定是（）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
7.已知，则的取值范围是（）
A B. C. D.
8.已知函数区间内没有零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列化简正确的是（）
A. B.
C. D.
10.如图所示，点是函数(，)图象的最高点，?是图象与轴的交点，若，且，则（）
A. B. C. D.
11.如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（）
A.
B.最小值为-2
C.在上的投影向量为
D.若的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦敦乃至英国的标志性建筑.钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如图所示，分针尖端到中心的距离为3.5米，尖端最低位置距地面约60米，若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离（单位：米）与时间（单位：分）的函数关系式为，则函数__________.
13.如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为_____.
14.在角、、、…、的终边上分别有一点、、、…、，如果点的坐标为，，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15已知函数．
（1）若，求函数最小正周期和对称轴；
（2）当时函数的最小值为2，求实数a的值．
16.已知锐角△中的三个内角分别为，，．
（1）设，判断△的形状；
（2）设向量，，且，若，求的值．
17.如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）
（1）证明：为定值；
（2）求的最小值，并求此时的，的值.
18.如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，，顶点A到河两岸的距离两点分别在两岸上，设.
（1）若，求养殖区域面积的最大值；
（2）现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值.
19.如图，设，是平面内相交成角两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．
（1）求；
（2）求的坐标；
（3）若过点直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值．
张家口市第一中学高一年级下学期第一次月考数学试题
考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，，，若，则（）
A. B. C.0 D.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，解得，
故选：B
2.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的递增区间是（）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移得，进而根据整体法即可求解单调区间.
【详解】根据题意可知，
令,解得，，
故的递增区间是，，
故选：D
3.若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（）
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【解析】
【分析】由或求解即可；
【详解】由题意得或．
设，则，
当时，，所以，即；
当时，，所以，即．
故选：D
4.定义：，其中为向量与的夹角.若，，，则（）
A. B. C.6 D.－6
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积可求向