19.二次型化为标准形的方法。作者布阿依仙木.买买提木也塞尔。指导教师赛都拉评价中.doc

编号 　　　　　　 学士学位论文 二次型化为标准形的方法 学生姓名： 布阿依仙木．买买提 学 号： 20060101028 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2006—1班 指导教师： 木也赛尔．赛都拉 完成日期： 2011 年 5 月 8 日 摘要 在本论文中主要介绍了二次型，把二次型化为标准形的四种方法。 关键词：非退化；特征值与特征向量；正交化与单位化；合同 目录 摘要 1 引言 1 1.基本概念 1 1.1 元二次型 1 1.2 二次型的标准型 2 1.3 线性变换 3 2.化二次型为标准形的方法 3 2.1配方法 3 2.2正交变换法 5 2.3初等变换法 9 2.4雅可比方法 11 总结 15 参考文献 16 致谢 17 引言 我们以前在高等代数里面学过了二次型化为标准形的方法。二次型化为标准形有配方法，正交变换法，初等变换法和雅可比方法等四种方法。它们分散在各种资料。这些方法各有各的特点，根据已知二次型的特点选择适当的方法可以减少运算量。 我在本论文中主要介绍了配方法，正交变换法，初等变换法，雅可比方法等四种方法。 1.基本概念 1.1 元二次型 含有个变量的二次齐次函数 称为元二次型，简称二次型。当系数是实数时，称为实二次型；当是复数时，称为复二次型，其中 在函数中记，则 =，，于是函数可写成 由式，利用矩阵二次型可表示为 若记， 则二次型可表示为矩阵形式：，其中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵也可唯一确定一个二次型。这样，实二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系，因此，我们把对称矩阵A叫做二次型的矩阵，也把叫做对称矩阵A的二次型。对称矩阵A的秩就叫做二次型的秩。 1.2 二次型的标准型 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形，其中， 1.3 线性变换 设两组变量与之间有关系式 若记 则关系式可表示为称之为由到的线性变换，称为变换矩阵。若C是正交矩阵，则线性变换X=CY称为正交线性变换。当系数行列式，称上述线性变换为非退化的（可逆的）线性变换。否则称之为退化的。 2.化二次型为标准形的方法 2.1配方法 对于一实元二次型通过配方的方法，将二次型化为仅有平方和的形式，其中且。 用配方法把二次型化为标准型的一般步骤： （1）若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项合在一起，然后配方；接着再对其余的变量进行同样过程，直到所有变量都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形。 （2）若二次型中不含有平方项，但是，则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按步骤（1）配方。 例 1 用配方法化二次型为标准形，并求所作的可逆线性变换。 解： 由于含有的平方项，配方可得： 令 就把化为标准形： 就是所作的可逆线性变换。 例2 用配方法化为二次型为标准形，并求所作的非退化线性变换。 解： 因为二次型中没有平方项，无法配方，所以先作一个非退化线性变换，使其出现平方项，根据利用平方差公式， 令 （1） 将（1）式代入二次型，得 先对含有的项配完全平方，然后对含的项配完全平方，得到 令即 （2） 二次型就化成了标准形。 即= （2）代入（1）得 （3） （3）就是所作的可逆线性变换。 2.2正交变换法 定理 对任何给定的二次型总有正交变换，使该二次型化为标准形其中是二次型的矩阵的全部特征值。 证明：设二次型的矩阵为A，因为A是对称矩阵，并以一定在正交矩阵P，使得其中是矩阵的全部特征值。 又因为P是正交矩阵，所以，从而有 现在对二次型作正交变换，则二次型 这就是二次型的标准形。 综合上面的讨论，可以总结出用正交变换把二次型化为标准形的一般步骤： （1）由二次型写出其矩阵A