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第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 一、（ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）．若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小．设重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 ．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足： ( a ）每个摆的摆长不小于 0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同的一个小位移 xo ( xo 0.45m ) ，然后同时释放，经过 40s 后，所有的摆能够同时回到初始状态． 2 ．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为 1．表示第i个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s的整数分之一，即 （Ni为正整数） （1） 由可得，各单摆的摆长 （2） 依题意，，由此可得 （3） （4） 因此，第个摆的摆长为 （5） i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 li0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472 二、（ 20 分）距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M ，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为 T ，摆动范围的最大张角为 △θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程． 若 L=10 光年， T =10 年， △θ = 3 毫角秒， M = Ms （Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU （平均日地距离）作为单位，只保留一位有效数字．已知 1 毫角秒=角秒，1角秒=度，1AU=1.5×108km,光速 c = 3.0 ×105km/s. 设该恒星中心到恒星行星系统质心的距离为，根据题意有 （1） ．又根据质心的定义有 （2） 为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有 （3） 由（2）、（3）两式得 （4） 表示行星到恒星行星系统质心的距离，从而把(2)式写为，把(3)式写为，则同样可得到(4)式，这也是正确的.] 利用（1）式，可得 （5） （5）式就是行星质量所满足的方程． （6）因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得 （7）注意到，（6）和（7）代入 (8) 由（）式可知 由近似计算可得 （） 由于小于1/1000，开普勒第三定律 （）代入有关数据得 （1）解法一 一倾角为的如图1所示的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有 （1） 可得 ， （2） 设在所考察的时刻，螺旋绕其转轴的角速度为，则环上每一质量为的小质元绕转轴转动速度 （3） 对转轴的角动量 整个螺旋环对转轴的角动量 （4） 小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成．在螺旋环的