数值分析讲义1-21讲-南京广播电视大学.pdf

目 录 数值分析讲义 （主讲：沈锦仁） 南京广播电视大学 第五篇 数值分析 序言 什么是计算数学(数值分析) (第 1讲) 一、 数值分析课的地位: 计算数学是数学的一个分支。 解决科学技术和工程问题的步骤: 实际问题建立数学模型研究计算方法编程上机计算。 例如:⑴ 某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。 ⑵ 为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。 ⑶ 采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解,然后再整体平滑。 ⑷ 编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。 二、 数值分析课的主要内容: 计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理,转化 为四则运算而形成了的一个小型论软件包)。 1. 数值代数:求解线性和非线性方程的解法,分直接方法和间接方法。 2.插值和数值逼近。 3.数值微分和数值积分。 4.常微分方程和偏微分方程数值解法。 三、 对算法所要考虑的问题: 1. 计算速度。 例如,求解一个 20 阶线性方程组,用加减消元法需 3000 次乘法运算;而用克莱姆法则要 进行9.7×1020 次运算,如用每秒 1亿次乘法运算的计算机要30 万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.数值稳定性。 在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。 例: 一元二次方程 x2 9 9 9 -(10 +1)x+10 =0其精确解为 X =10 , X =1。 1 2 −b ± b2 − 4ac 如用求根公式:X1,2 x = 和字长为 8位的计算器求解,有 1,2 2a 2 18 9 18 9 9 9 b − 4ac = 10 − 4×10 ≈ 10 = 10 ,及10 + 1 ≈ 10 ;则 − −109 + 109 − −109 − 109 ( ) 9 ( ) x1 ≈ = 10 ,x2 ≈ = 0 。x2 的值与精确解有天壤之别。若 2 2 −b − b2 − 4ac 2c 2×109 x2 = 2a −b + b2 − 4ac ≈ − −109 + 109 = 1 。因此,算法的选用很重要。 ( ) 第九章 数值分析中的误差 §1.误差的来源和基本概念 一、 误差的来源 1. 模型误差