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精算师重点题库和答案分析2024

一、保险精算基础部分

1.已知某险种的损失额$X$服从参数为$\lambda=0.01$的指数分布，若设置免赔额$d=100$，求每次赔付的平均金额。

答案：指数分布的概率密度函数为$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$，分布函数为$F(x)=1-e^{-\lambdax},x\gt0$。当设置免赔额$d$时，每次赔付金额$Y=(X-d)^+$，其期望$E(Y)=\int_{d}^{\infty}(x-d)\lambdae^{-\lambdax}dx$。

令$t=x-d$，则$x=t+d$，$dx=dt$，积分变为$\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambda(t+d)}dt=e^{-\lambdad}\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt$。

对于指数分布，$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，而$\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt=\frac{1}{\lambda}$，已知$\lambda=0.01$，$d=100$，则$E(Y)=e^{-0.01\times100}\times\frac{1}{0.01}=e^{-1}\times100\approx36.79$。

分析：本题关键在于理解免赔额下赔付金额的定义以及指数分布的性质和积分计算。通过变量代换简化积分计算，同时要熟悉指数分布的期望公式。

2.设某风险的损失随机变量$X$具有分布函数$F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\\frac{x}{100},0\leqx\lt100\\1,x\geq100\end{cases}$，若采用比例再保险，分出公司的自留比例为$20\%$，求分出公司的平均自留损失。

答案：设分出公司的自留损失为$Y=0.2X$。$E(X)=\int_{0}^{100}x\cdotf(x)dx$，由$F(x)$求导得$f(x)=\frac{1}{100},0\leqx\lt100$。

则$E(X)=\int_{0}^{100}x\cdot\frac{1}{100}dx=\frac{1}{100}\times\frac{x^{2}}{2}\big|_{0}^{100}=50$，所以$E(Y)=0.2E(X)=0.2\times50=10$。

分析：首先要根据分布函数求出概率密度函数，然后计算原损失变量的期望，再根据自留比例求出分出公司自留损失的期望。对于连续型随机变量期望的计算，积分的运用是关键。

3.已知某保险标的在一年内发生损失的概率为$0.1$，若发生损失，损失额$X$服从$[0,100]$上的均匀分布，求该保险标的的期望损失。

答案：设事件$A$表示“保险标的在一年内发生损失”，$P(A)=0.1$，$P(\overline{A})=0.9$。

当发生损失时，$E(X|A)=\frac{0+100}{2}=50$，根据全期望公式$E(X)=P(A)E(X|A)+P(\overline{A})E(X|\overline{A})$，因为$E(X|\overline{A})=0$，所以$E(X)=0.1\times50+0.9\times0=5$。

分析：本题运用了全期望公式，需要正确区分损失发生和不发生两种情况，分别计算对应的期望，再根据概率加权求和。

4.某险种的损失额$X$服从正态分布$N(500,100^{2})$，若设定理赔上限为$600$，求每次理赔的平均金额。

答案：设理赔金额为$Y=\min(X,600)$。

$E(Y)=\int_{-\infty}^{600}x\cdotf(x)dx+600\int_{600}^{\infty}f(x)dx$，其中$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，$\mu=500$，$\sigma=100$。

先求$Z=\frac{X-500}{100}$服从标准正态分布$N(0,1)$。

$\int_{-\infty}^{600}x\cdotf(x)dx=\int_{-\infty}^{\frac{600-500}{100}}(100z+500)\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz=100\int_{-\in