§3.1-4(七)(八)(九).ppt

根据叠加原理，图3—4(a)所示系统在任意初始条件下的自由振动响应为: 由例3.3可以看到，二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下的自由振动是简谐振动。 振动的特点:系统的两个自由度以相同的频率振动，它们之间的相位差为零或p，它们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间无关的常数。 1)这种振动称为系统的固有振动。2)这种坐标之比称为固有振型，简称振型。3)固有振动时的频率称为系统的固有频率，振型与固有频率是一一对应的。 二自由度系统存在两种频率的固有振动，因此有两个固有频率，两个固有振型。二自由度系统在任意初始条件下的无阻尼自由振动是这两个固有振动的线性组合。 用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系，称为振型图。 例3.3的振型图如图所示 还是例3.3，直接从系统的微分方程出发求出系统的固有频率和振型。 图示系统自由振动的运动微分方程为？？？ 设系统的固有振动时的解为 代入得： 关于Al，A2的线性齐次代数方程组。如果有非零解，则需满足： 二阶行列式展开得 解之得 1) 将w1代入方程式 得到 令 {u1}就是与w1对应的第一阶振型 因此得到u11，u21的比值： 则 2) 将w2代入方程式 得到 令 {u1}就是与w2对应的第2 阶振型 得到u11，u21的比值： 例3.3得到的振型比值恰好是l和-1，这只是特殊情况，一般情况下，振型比值与系统的物理参数有关。 更为一般：任意二自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由振动响应的求解方法。 设系统的运动微分方程为 设系统的响应为 写成向量形式 这里 是要求解的振型 将 代入 实际上系统的振动是两个自由度的和 两边左乘振型的转置{u}T ，并设 得 它的解为 这里 将解代入 得 振型{u}有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式为零 在线性代数中称为广义特征值问题 振型{u}有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式为零，即： 这就是特征方程或频率方程 展开可得到一个关于w2的二次代数方程; 取正平方根w1，w2并取w1≤w2 ; 依次代入广义特征值问题，可求出它们各自对应的振型{u1}＝{u1l，u2l}T、，{u2}＝{u12，u22}T 即 {u1}，{u2}乘上任一个非零的常数仍然满足式。 所以：可把响应{x(t)}看为向量空间中随时间变化的向量，振型{u}给出了空间中的不随时间改变的一个方向，振型的大小需要人为给定。 固有频率和它所对应的振型完全由质量矩阵和刚度矩阵决定，与外部激励无关，是系统固有的性质。 由 知： * §3.1 引 言 第3章 二自由度系统 多自由度系统指需要用两个或两个以上的独立坐标才能描述其运动的振动系统。 二自由度系统是最简单的多自由度系统。 §3.2 运动微分方程 例3.1 图为典型的二自由度弹簧、阻尼器质量系统。 用牛顿第二定律建立它的运动微分方程：1)分别在ml，m2建立坐标系Xl;X2以描述m1，m2的振动。坐标原点O1，O2分别取m1，m2的静平衡位置。向右为坐标正向。2) 设m1，m2在F1(t),F2(t)作用下沿各自的坐标正向分别移动了x1，x2，分析此时m1，m2的受力情况。 列微分方程的第一种方法： 根据牛顿第二定律可以得到： 整理得 ： 在多自由度系统振动理论中，广泛使用矩阵记号。 记：位移向量 加速度向量 速度向量 激励向量 设 分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。 则 记为： 即： 这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。 质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵完全决定了系统的性质。 从上面的例子可以看出，这三个矩阵均是对称矩阵，即 系统的动能为 势能为 能量耗散函数 利用这三个函数可以分别求出三个矩阵的各个元素 列微分方程的第二种方法： 1)求出系统的动能、势能和能量耗散函数， 2)然后利用式(3.3)求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。 3)最终求出系统的运动微分方程。 好处：由于系统的动能、势能和能量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向，免去了许多麻烦。 因此：列微分方程有两种方式： 1)牛顿法：隔离体受力分析 2)求偏导法：求系统动能\势能和能量耗散函数，再求导（推荐方法） 弹性元件k2和阻尼元件c2使得系统的两个质量的振动相互影响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵。 一般多自由度系统的运动微分方程中的质量、阻尼和刚度矩阵都可能不是对角矩阵，这样微分方程存在耦合。 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合；如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合。 存在什么耦合？？ 如何消除方程的耦合是求