空间立体几何(教师).doc

1. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.(1)求证:PB⊥DM;(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在点E,且PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角为60o.若存在求出λ值，若不存在，请说明理由。 （1）建系，利用，证明PB⊥DM （2） （3）先假设存在，求出法向量，可以算出无解，所以不存在符合要求的解. 2. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上． （I）当时，求证平面 （II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值． （I）见解析（II） 3. 在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2， AB=1，G为AD中点． （1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实； （2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小； （3）求点G到平面BCE的距离． 解：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，，，， B B A D C G F E （1）点F应是线段CE的中点，下面证明： 设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，∴， 显然与平面平行，此即证得BF∥平面ACD； （2）设平面BCE的法向量为，则，且， 由，， ∴，不妨设，则，即， ∴所求角满足，∴； （3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴， 由（2）平面BCE的法向量为，∴所求距离． 4. 如图，四棱锥P- ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=， PC=， （I）求证：PD⊥AC； （II）已知棱PA上有一点E，若二面角E—BD—A的大小为45°，试求BP与平面EBD所成角的正弦值。 5. 如图,在三棱拄中,侧面,已知 (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若求二面角的平面角的正切值. 证(Ⅰ)因为侧面,故 在中, 由余弦定理有 故有 而 且平面 (Ⅱ)由 从而 且 故 不妨设 ,则,则 又 则 在中有 从而(舍负) 故为的中点时, 法二:以为原点为轴,设,则 由得 即 化简整理得 或 当时与重合不满足题意 当时为的中点 故为的中点使 (Ⅲ)取的中点,的中点,的中点,的中点 连则,连则,连则 连则,且为矩形, 又 故为所求二面角的平面角 在中, 法二:由已知, 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角 因为 故 6. 如图,三棱柱的侧棱底面,,是棱上动点,是的中点, (Ⅰ)当是中点时,求证:∥平面; (Ⅱ)在棱上是否存在点,使得二面角的余弦值是,若存在,求的长,若不存在,请说明理由. 解:(1)证明,取的中点G,连结EG,FG ∵F、G分别是AB、AB1的中点, ∴∥ 又∵∥ ∴四边形FGEC是平行四边形,∴CF∥EG ∵平面AEB1,EG平面AEB1 ∴∥平面AEB (2)以C点为坐标原点,射线CA,CB,CC1为轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则设,平面的法向量. 则 由得 ∵平面 ∴是平面EBB1的法向量,则平面的法向量 ∵二面角A-EB1-B的平面角余弦值为, 则 解得 ∴在棱上存在点E,符合题意,此时 1.（1）建系，利用，证明PB⊥DM （2） （3）先假设存在，求出法向量，可以算出无解，所以不存在符合要求的解. 2.（I）见解析（II） 3解：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，，，， B B A D C G F E （1）点F应是线段CE的中点，下面证明： 设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，∴， 显然与平面平行，此即证得BF∥平面ACD； （2）设平面BCE的法向量为， 则，且， 由，， ∴，不妨设，则，即， ∴所求角满足，∴； （3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴， 由（2）平面BCE的法向量为， ∴所求距离． 4. 5证(Ⅰ)因为侧面,故 在中, 由余弦定理有 故有 而 且平面 (Ⅱ)由 从而 且 故 不妨设 ,则,则 又 则 在中有 从而(舍负) 故为的中点时, 法二:以为原点为轴,设,则 由得 即 化简整理得 或 当时与重合不满足题意 当时为的中点 故为的中点使 (Ⅲ)取的中点