第二章初等模型.ppt

由⑴式，记 ⑼ 则⑻式为 ⑽ 由上式, 知当 时, 达到最大, 又 即 ⑾ 因而有 从而有 结果分析 航向 角应在 和 之间（具体数值取决于 和 之比），帆的朝向 角为 的一半。这是 点出发时 船的航向及帆的朝向. 行驶时点 将不在船的正东方， 上述结论不再成立，此时，应不断调整 和 ，才能尽 快达到 点. 六、量纲分析法 量纲分析法是20世纪初提出的在物理领域中建立数学 模型的一种方法。它通过物理定律中的量纲齐次原则， 确定各物理量之间的关系，最终建立相应的数学关系， 从而得到对应问题的数学模型. 许多物理量是有量纲的。有些物理量的量纲是基本的， 我们把它们称为“基本量纲”；而某些量纲是由这些量纲 组成的，因而把它们称为“复合量纲”. 基本量纲 时间量纲 长度量纲 质量量纲 复合量纲 速度量纲 加速度量纲 力的量纲 万有引力系数 上式说明：万有引力系数是一个有量纲的量。 无量纲的量记作 定理1 设 个物理量 间有关系式 ⑴ 其中 有基本量纲，而 各量的量纲为由上述量纲表示的复合量纲，则关系式⑴ 可表示为 个无量纲 间的关系式 ⑵ 所以： ⑷ 其中 再注意到，厚度为 的单层玻璃窗的热传导过程为 ⑸ 两者之比为 ⑹ 为了得到更进一步的结果，需要传导系数 的值。 实验数据表明，常用玻璃的热传导系数为 不流动、干燥空气的热传导系数为 所以 取最保守的估计，即取 由⑷，⑹得 ⑺ 比值 反映了双层玻璃窗在减少热量流失上的功 效。它只与 有关。下图给出了 曲线， 当 上升时， 迅速下降；而当 到达一定值后， 下降趣缓。由此可见， 不必过大。 模型应用 该模型具有一定的应用价值。尽管双层玻璃窗会增加 制作工艺上的成本，但它在降低热量流失上的功效是相 当可观的。通常，建筑规范要求 ，按照该 模型， ，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材 料制成的单层玻璃窗节约热量约 左右。 三、四足动物的身材 问题的提出 如何根据四足动物的外部尺寸来估计它的重量？ 要点：本模型是希望建立四足动物的躯干特征来估计 其重量，而并不是研究其生理结构的特征。 模型假设 1.四足动物的躯干的外形为圆柱体； 2.躯干被架在四条腿上，把躯干看作简支弹性梁。 建模 设躯干的长度为 ，躯干截面（圆）的面积为 ，直径 为 ，四足动物的质量为 ，体重为 ，由于体重的作 用，躯干（弹性）的垂度（梁的最大挠度）为 。 由弹性力学知道： 又： ，所以 ⑴ 比值 是动物的相对下垂度。 太大，四肢将无法支 撑； 太小，无疑是一种浪费。因此，从生物学的角度 来说，因此对每一种动物而言， 已经达到最佳状态， 故可假设：相对下垂度 为常数。在该假设下有： ⑶ 在该假定之下，有 所以： 即：体重与躯干长度的4次方成正比。 四、汽车的刹车距离 问题的提出 美国的某些司机培训课程中有这样的规则: 正常驾驶条 件下, 车速每增加10英里/小时, 后面与前面一辆车的距 离应增加一个车身的距离. 又云: 实现这个规则的一种简 便方法是所谓“两秒准则”: 即后车司机从前车经过某一 标志开始默数2秒后到达同一标志，而不管车速如何. 问题分析 制定这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上 前车，即要保持汽车的刹车距离. 显然刹车距离与车速 有关. 先看汽车在10英里/小时（约16km/h）的车速下两 秒钟内汽车能行驶的距离: 所以，行驶距离用公制来表示为： 而这个距离远大于一个车身平均长度（15英寸=4.6m）. 所以“两秒准则”与上述规则并不一致