与Schrdinger算子相关的交换子在Morrey-Herz空间上的有界性.pdf

第 28卷 第 2期 聊城大学学报 (自然科学版) V01．28NO．2 2015年 6月 JournalofLiaochengUniversity(Nat．Sci．) Jun．2O15 与Schr6dinger算子相关的交换子在 Morrey—Herz空间上的有界性 王丽丽 赵 凯 柴 艳 周 婷 (青岛大学 数学科学学 院，山东 青 岛 266071) 摘 要 借助于与SchrOdinger算子相关的Riesz变换交换子的L 有界性结论，使用经典不等 式估计 ，并应用齐次Morrey-Herz空间上的性质，证 明了与 SchrOdinger算子相关的 Riesz变换 交换子在 Morrey-Herz空间上的有界性． 关键词 SchrOdinger算子，Riesz变换，交换子，Morrey-Herz空间，有界性 中图分类号 0174．2 文献标识码 A 文章编号 1672—6634(2015)02—0012—04 引言 交换子在偏微分方程中起着重要的作用．为此，学者们做了广泛的研究 。 ．在文献[1]中，Coifman等 证明了交换子[6，T]在 L上的有界性，其中b∈BMO，T是经典的Calder6n—Zygmund算子，lpoo．在 文献[2]中，赵凯等证明了极大算子交换子在各向异性齐次Morrey—Herz空间上的有界性．在文献[3]中， 李澎涛等人证明了与 SchrOdinger算子相关的Riesz变换交换子的L 有界性 ，其中P一一△+ ()是 ” 上的SchrOdinger算子，这里 Riesz变换 T一(一△+V) ，V是满足反向HOlder不等式类的非零位势． 1 定义和引理 设 B一{xE ”：1zI≤2)，C—B ＼Bk—，以及 z=Zck，k∈7／，是 C 上的特征函数． 定义 1 设 a∈ ，Op，q∞，齐型Morrey-Herz空间MKa,~( )定义为 MK；(昶”)一 {f∈L％( ＼{0))，l【厂lI ：(R) 。。)， 0 其中 lI，llMKa,ac — s … up2。(∑ Il豇 lIPfqc )古． 0 k一 一。。 定义2 设 1q。。，非负局部 L 可积函数 V(z)称为 上属于 B 类，若存在 C0使得反 向 HOlder不等式在每一个嗵”上 的球B上有 ( qdx)寺≤c 蒯z． ㈩ 易知 ，若 ()∈B ，q1，则 ()满足双倍条件 ，即对VrO，X∈ ，有 I V()dy≤CoI ()dy． (2) 引理 1[。] 设 ()∈B ，q≥n／2，b∈BMO( )，T一 (一△+ ) V，则对 g≤ 户 C×3，有 收稿 日期 ：2015—03—15 基金项 目：国家 自然科学基金项 目资助 通讯作者 ：赵凯 ，E-mail：zhkzhc@al：yun．com． 第2期 王丽丽等：与schr6dinger算子相关的交换子在M。rrey-Herz空间上的有竺 ! _1Eb，T]fIl ≤clIbIleMoc IIfII ． 引理 2[3 设 (z)∈Bq口≥ ／2，以及 NlogzC。+1，其 中C。是 (2)式中常数 ，则对 Vz。 ”，R 0，有 『干『 1 研 Iv()比≤cR～．