第四章已插图连续型随机变量的参数估计与检验..doc

第四章 连续型随机变量的 参数估计与检验 数理统计的基本问题是根据样本所提供的信息，对总体的分布以及分布的数字特征做出统计推断。统计推断基本上包括两大部分：一是参数估计；二是假设检验。从本章起，将逐步介绍这两部分的内容。 §4-1 参 数 估 计 如果总体分布的类型已知，而它的某些参数未知，根据样本所取得的信息，估计出未知参数的值，这类问题称为参数估计问题。例如，已知总体服从正态分布N(μ，σ2)，但未知其参数μ、σ2，因此需要我们根据样本所反映的信息，估计出参数值μ、σ2，我们把总体的知参数μ、σ2称为为待估计参数。 在参数估计中作估计结论的方式有两种：即参数的点估计和参数的区间估计。 4-1.1 点估计及其性质 设θ为总体X的一个待估计的未知参数，用样本X1，X2，…，Xn构造一个统计量=(X1,X2,…，Xn)作为θ的估计，称这个统计量为θ的一个估计量。由于抽样的随机性，是一个随机变量。对于样本的一组具体观测值x1,x2,…，xn，估计量=(x1,x2,…，xn)称为θ的一个具体观测的点估计值，简称估计值。实际上它是估计量的一个具体值。这种通过一次具体抽样值x1，x2…xn，估计出参数θ的可能取值的方法估称为参数的点估计问题。 点估计的目的是寻求作为未知参数θ的估计量，然后把样本值代入估计量而得到一个具体的估计值。但是对于同一个参数可以用不同的方法来求其估计量，例如估计总体均数θ可以用估计量(样本均数)；也可以用=1/2()等。究竟哪一个估计量好?一般地认为参数θ的最佳估计量应当是在某种意义下最接近于θ的那一个为好，因此衡量估计量好坏的常用的标准有三条。 一、 无偏性 定义1 设θ为被估计的未知参数，为θ的估计量，若 (4-1) 则称为θ的无偏估计量。 对于无偏性的含义可以这样来理解：由于抽样误差的影响，每次抽样算得的估计量θ都不会相同，但随着抽样次数的增加，计移出的值会逐渐稳定在待估计参数θ的附近，即统计量的抽样值总体平均等于待估计参数θ。 前面提到样本均数、方差可以作为总体均数、方差的估计量。从无偏性的定义还可以证明它们是总体均数、方差的无偏估计量。事实上，设X1,X2，…，Xn是总体X的有相同分布的样本，X为样本均数，μ为总体均数， = 由无偏估计量的定义得知样本均数是总体均数μ的无偏估计量。 同样，样本方差是总体方差σ2的无偏估计量。因为 我们还可以用样本的平均波动来估计总体的的方差DX，而 可以看出，不是总体方差DX的无偏估计量。因此我们将样本方差定义为，而不是。但是当n相当大时，两者相差甚微，n较小时，相差就比较大。所以当取的样本为大样时也可以用作为DX的估计量。在医学统计上，则于临床病历数一般比较大，常用来代替，而在药学研究中，则于取样值的数量一般不超过50，必须用作DX的统计估计值。否则，估计DX的偏差会增大。 这里还要指出一点：是总体方差DX的无偏估计量，但S却不是总体标准差的无偏估计量(证明从略)，只能作为的估计量。 无偏性决不是衡量估计值好坏的唯一标准，有时同一个参数可以有多个不同的无偏估计量，那么究竟哪一个无偏估计量好呢?我们引进点估计的另一个标准：有效性。 二、 有效性 定义2 设1及2都是未知参数θ的无偏估计量，若 (4-2) 则称较有效。 实际上为了使抽样误差尽量地小，要求估计量围绕被估计值的变动愈小愈好。也就是说，要求估计量的离散程度要小，或者说其方差要小。例如，在正态总体的情况下，样本均数及样本中位数M都是总体均数的无偏估计量我们比较它们的有效性，均数，而样本中位数(证明从略)。可以看出，的方差D比M的方差DM小，说明用来估计总体均数比M有效。 应当指出的是统计量与样本容量n有关，为了明确起见，不妨记作，很自然地，我们希望当n越大时，对θ的估计越精确，于是引进点估计的第三个性质：一致性。 三、 一致性 定义3 设是未知参数的一个估计量，n为样本容量，若对任意一个ε＞0，有 (4-3) 则称为θ的一致估计量。 例如由大数定理知道，对任意ε＞0有，所以，也是总体均数μ的一致估计量。也可验证样本方差是总体方差的一致估计量。 综上所述，可知样本均数及样本方差S2分别是总体均数μ及总体方差σ2的无偏、有效、一致估计量，因此利用样本均数及样本方差代替总体均数及总体方差时，所产生的