向前一小步 能力一大步.doc

志平系编辑部为王芝平起的笔名 第 PAGE 5 页 共 NUMPAGES 5 页 向前一小步 能力一大步 ——高考复习中的开放性变式研究 北 京 宏 志 中 学 志 平[1] 北京学而思培训学校 超 月 （载《中国考试》2007年12月） 新课教学要按教学规律办事，而高考复习要按考试规律办事．由于目前高考是以解题作为唯一测试手段的能力考试，这就决定了高考复习的成果最终必须表现为解题能力的提高，因此高考复习必须以解题训练为中心．可以说“解题”是数学学习，特别是高考复习的主要活动．波利亚有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题”．在这里，“解题”近于“掌握数学”的同义语了. 解题是学好数学的必由之路，但是不同的解题理念会导致不同的解题效果．目前在中学数学教学中关于解题教学的现状是：教师很少分析解题过程（特别是新教师），也没有解后反思这个重要环节，学生常常感到解题是“来也匆匆，去也匆匆”．既不知道题目是怎样编拟出来的，也不知道解法是如何发现的，更不清楚题目还会有怎样的发展． 为此我们提倡在高考复习中以“开放性变式研究”为理念组织数学复习活动，所谓“数学开放性变式研究”，是相对于数学中的某种范式的变化形式，即以运动、变化的开放心态不断变更问题的情景或改变思维的角度，在保持某些属性（本质的或非本质的）不变的情况下，使事物其它属性不断迁移、变化，进而得到新的成果的一种教与学的思想方法．其基本观点是，开放性变式研究是学生的主动建构活动，而非被动接受，是有意义的学习活动，教师是学生学习活动的组织者和促进者（保证主体，发挥主导，导而不演）． 例如，当人们对欧氏几何第五公设千万次证明失败以后，一些数学家从另一个角度去考虑第五公设——否定第五公设．这种大胆而超乎寻常的设想，导致了几何学的巨大的变革——非欧几何学诞生了，这就是众所周知的罗氏几何和黎氏几何． 可以说，“数学开放性变式研究”已不再仅仅是加深对概念或规则的理解，还包含了诱发或促进新概念、新规则或新问题的产生． 1．改变数字揭示本质——解法策略的变式 例1．小亮的妈妈给小亮4只糖果，规定他每天至少吃一只，问他有多少种不同的吃法？ 一个常见的讲法是“分类相加法”，即小亮最多吃4天，最少吃1天，分别求出吃1天、2天、3天、4天的方法数，再相加即得到答案：8种．（方法来自听课） 课下，当我问一个学习成绩较好的学生，如果给你11只糖果，规定每天至少吃一只，共有多少种吃法？他在忙了半天后无奈地说：“数字太大了，无法计算”． 是无法计算？还是没有发现该问题的本质解法？如果我们老师对一个问题分析与讲解之后，学生却解决不了仅仅改变数字后的同一类问题，这样的讲解有什么用呢？与其这样倒不如不浪费学生的宝贵时间！数字一改，真相大白！ 在上述“分类相加”的解法中，可以发现，4只糖果吃2天的方法数就是将这4只糖果分成两组的方法数，即在4只糖果的3个空挡中选择1个空挡插入“档板”，共有种方法．那么，一般地，设有只糖果，将它们一字排开，这只糖果之间共有个空档，如果一天吃完，则有种吃法，如果2天吃完，则有种吃法，如果3天吃完，则有种吃法，…，如果天吃完，则有种吃法．所以，只糖果每天至少吃一只，则共有种不同的吃法． 抓住问题的本质，解法简单又可推广！ 例2．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）． 思路1 （构造法）由于题设中的“数字”较小，可用枚举法将符合题意的运动方法一一构造出来即可．为了方便表述可引入必要的“符号”，如用“（1，0）→（2，0）”表示质点从点（1，0）跳到点（2，0）． 如果题设中的“数字”不是很小，比如经过20次跳动质点落在点（16，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有多少呢？跳动100次呢？数字能一般化吗？显然再用思路1的构造枚举法，将是一件很麻烦的事． 思路2 （等价转化法）利用等价转化法，设质点沿轴正方向跳1个单位记为“1”，沿轴负方向跳1个单位记为“－1”．因为，质点从原点出发经过5次跳动落在点（3，0），所以，质点应该向正方向跳动4次，向负方向跳动1次．则质点不同的运动方法等价于在5个“1”中的某一个1前添加符号“－”，所以共有=5种． 本题清新、立意深远，以不多的数学知识考查学生的数学理性思维和数学意识．思路1中的“枚举法”回归基础，是构造思想的灵活应用，但没有理解问题的本质，难于推广；思路2体现了等价转化思想，反映出了优秀的思维品质和较高的数学素养．由于思路2对问题有深刻理解和敏锐的洞察，不仅解法漂亮，还可将其推广： 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次