切比雪夫滤波器设计..doc
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切比雪夫滤波器
一 切比雪夫模拟滤波器
1 切比雪夫多项式
切比雪夫的振幅平方特性可以用切比雪夫多项式表示，所以这里首先简单介绍一下它的相关知识。
用表示n阶切比雪夫多项式，当时，可用下式定义：
进一步，可以将其表示为：
2 切比雪夫1型模拟滤波器
切比雪夫1型滤波器的振幅平方特性可以表示为：
或者
式中，是设计参数。
直接给出其通带的波纹振幅为：
如用分贝（dB）表示波纹的大小，有
3 切比雪夫滤波器的设计指标
要设计切比雪夫滤波器，就必须指定若干设计参数。
从切比雪夫定义可知，由于，所以当时，下式成立：
又当时，有：
式中，为阻带起始频率，1/A为阻带的最大振幅（绝对）。
具体设计时，给定及，（其中为通带截止频率，，），
要确定滤波器的（滤波器阶数），它们之间关系为：
二 用冲激响应不变法设计lIR滤波器
冲激响应不变法的设计原理是使得数字滤波器单位取样响应序列h(n)校仿模拟滤波器的冲响应。
模拟滤波器的冲激响应进行等间隔采样，使得数字滤波器的单位取样h(n)刚好等于的采样值，即：
其中的T为采样周期。
模拟频率与数字频率之间存在的关系为：
若令Ha(s)是模拟滤波器的系统函数，H(z)是数字滤波器的系统函数。显然，是的拉普拉斯变换，而H(z)是h(n)的z变换。模拟信号的拉普拉斯变换与它的采样序列的z变换的关系为：
可以看出，利用冲激响应不变法将模拟滤波器变换成数字滤波器，实际上是首先将模拟滤波船的系统函数的延托，在经过的映射变换，从而 得到数字滤波器的系统函数H(z)。假设s平面上，s在轴上取值，z在z平面内的单位圆周上取值，可以得到数字滤波器的频率响应)和模拟滤波器的频率响应间的关系为：
但是对于任何一个实际的模拟滤波器，它的频率响应不可能是真正带限的，因而，将不可不避免的出现频率的交叠，即混叠失真。数字滤波器的频率响应不能重现模拟滤波器的频率响应。只有当模拟滤波器的频率响应在超过折叠频率后衰减很大时，混叠失真才很小，此时采样冲激响应不变法设计的数字滤波器才能够满足设计的要求。
按照冲激响应不变法的原理，用这种方法设计数字滤波器系统函数H(z)的过程是：由模拟滤波器的系统函数,求出它的拉普拉斯反变换得到脉冲响应,然后对其进行等间隔采样：
然后求出h(n)的z变换，便得到系统函数H(z),即：
通常按照上述的方法的过程比较繁琐，在实际中，冲激响应不变法特别适合于模拟滤波器系统函数能够用部分分式展开式表示的情况。
假设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且MN,系统函数可以用部分分式形式表示：
其拉普拉斯变换为脉冲响应ha(t)为：
对进行等间隔采样，可以得到数字滤波器的单位取样响应h(n):
由此可知，通过模拟滤波器的系统函数，可以直接求得数字滤波器的系统函数，这种方法求取数字滤波器的系统函数是比较方便的。
在给定数字滤波器指标，设计H(z)可以分以下4步：
（1）选T，确定模拟频率：
（2）利用指标，设计模拟滤波器。
（3）利用部分分式展开，将写成：
（4）将模拟极点变换成数字极点，这样得：
三 MATLAB程序
1 非归一化切比雪夫1型模拟低通滤波器原型设计
function [b,a]=u_chb1ap(N,Rp,OmegaC);
%N为滤波器阶数
%Rp为波纹大小（dB）
%OmegaC截止频率
[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp);
a=real(poly(p));
aNn=a(N+1);
p=p*OmegaC;
a=real(poly(p));
aNu=a(N+1);
k=k*aNu/aNn;
b0=k;
B=real(poly(z));
b=k*B;
2 切比雪夫1型模拟低通滤波器原型设计
function [b,a]=afd_chb1(Wp,Ws,Rp,As);
%b为Ha(s)的分子多项式系数
%a为Ha(s)的分母多项式系数
if Wp=0
error(Passband edge must be larger than 0)
end
if Ws=Wp
error(Stopband edge must be larger than Passband edge)
end
if (Rp=0)|(As0)
error(PB ripple and /or SB attenuation must be larger than 0)
end
ep=sqrt(10^(Rp/10)-1);
A=10^(As/20);
OmegaC=Wp;
OmegaR=Ws/Wp;
g=sqrt(A*A-1)/ep;
N=ceil(
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