平面向量专题复习.docx

专题复习：平面向量 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平面向量的坐标表示：分 x y i j ? 别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底。任作一个向量a ，由平面向量基 x y ? ? xi ? yj (x, y) a 本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得a ， 叫做向量 的（直角）坐标， 记作 a ? (x, y) ，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标， 特别地， i ? (1,0) ， j ? (0,1) ， 0 ? (0,0) 。 a ? x2 ? y2 ； 若 A(x , y ) B(x , y ，1 2 2 ， ) ， 则 1AB ? ?x 1 2 x , y 1 2 y ? ，1 ，  AB ? ( x 2  ? x ) 2 ? ( y 1 2  ? y ) 2 1 零向量、单位向量：①长度为0 的向量叫零向量，记为0 ； ②长度为 1 个单位长度的向量， a 叫单位向量.（注： | a | 就是单位向量） 平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.向量a 、 b 、c 平行，记作a ∥ b ∥ c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 向量的加法、减法： ①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。即： a ? b = a + (? b )； 差向量的意义： OA = a , OB = b , 则 BA = a ? b a ? (x , y ③平面向 量的坐标运算：若 ) b ? (x , y ， ) ， 则 a ? b ? (x x , y ? y ) ， 1 1 2 2 1 2 1 2 a ? b ? (x 1 x , y 2 1 ? y ) ， ?a ? (?x, ? y) 。 2④向量加法的交换律： a + b = b + a ；向量加法的结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c ) 2 ? ? 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λ a ? ? ? ? ? ? ? （1）|λ a |=|λ|| a |；（2）λ0 时λ a 与a 方向相同；λ0 时λ a 与a 方向相反；λ=0 时λ a = 0 ； ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）运算定律 λ(μ a )=(λμ) a ，(λ+μ) a =λ a +μ a ，λ( a + b )=λ a +λ b ? ? 向量共线定理 向量b 与非零向量 a 共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非 ? ? 零实数λ，使b =λ a 。 1平面向量基本定理：如果 e 1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 ? ? 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2 使a =λ1 e +λ2 e2 。(1)不共线向量e e2 叫做 1、1表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向 1 、 1 ? e e ? 量a 在给出基底 1 、 2 的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2 是被a ， ，1 2e e ， 1 2 向量a 和b 的数量积：① a · b =| a |·| b |cos? ，其中? ∈[0，π]为a 和b 的夹角。②| b |cos? 称为b 在 a 的方向上的投影。③ a · b 的几何意义 是：b 的长度| b |在 a 的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是 向量。 1，④若a =（ x 1 ， y ）, b =（x2， y2 ? ? 1）, 则a ? b ? x 1 x ? y y 2 1 2 1⑤运算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。 1 a ? b x x ? y y 1 2 1 2 ⑥ a 和b 的夹角公式：cos? = ? ? ? a ? b ＝ x 2 ? y 2 ? 1 1 x 2 ? x 2 ? y 2 a 2 x 2 ? y 2 2 2 ⑦ a ? a ? a 2 ? | a |2=x2+y2，或| a |= ⑧| a·b |≤| a |·| b |。 1，两向量平行、垂直的充要条件 设a =（ x 1 ， y ）, b =（ x2 ， y2 ） 11①a