[2018年最新整理]1981年全国高中数学联赛试题及解答.doc

1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛 1．选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分) ⑴ 条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等． 条件乙：两个三角形全等． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 ⑵ 条件甲：=a． 条件乙：sin+cos=a． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 ⑶ 设α≠ (k≠0，±1，±2，……)， T=． A．T取负值 B．T取非负值 C．T取正值 D．T取值可正可负 ⑷ 下面四个图形中，哪一个面积大？ A．△ABC：∠A=60°，∠B=45°，AC= B．梯形：两条对角线的长度分别为和，夹角为75° C．圆：半径为1 D．正方形：对角线长度为2.5 ⑸ 给出长方体ABCD—A(B(C(D(，下列12条直线：AB(，BA(，CD(，DC(，AD(，DA(，BC(，CB(，AC，BD，A(C(，B(D(中有多少对异面直线？ A．30对 B．60对 C．24对 D．48对 ⑹ 在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y2-x?这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定t的取值范围是0≤t≤1?，M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为 A．－t2+t+ B．－2t2+2t C.1－t2 D. (t－2)2 ⑺ 对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？ A．至多有三个实根 B．至少有一个实根 C．仅当p2－4q≥0时才有实根 D．当p0和q0时，有三个实根 2．(本题15分) 下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正： x 0.021 0.27 1.5 2.8 3 5 lgx 2a+b+c－3 6a－3b－2 3a－b+c 1－2a+2b－c 2a－b a+c x 6 7 8 9 14 lgx 1+a－b－c 2(a+c) 3－3a－3c 4a－2b 1－a+2b 3．(本题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证： PC?QE+PD?QF2． 4．(本题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件．每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A与1个C．用库存的A、B、C三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完． 5．(本题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点．设∠BPQ=θ，求θ的范围． 提示：利用入射角等于反射角的原理． 1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答 1．选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分) ⑴ 条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等． 条件乙：两个三角形全等． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 解：乙(甲，但甲(乙，故选B. ⑵ 条件甲：=a． 条件乙：sin+cos=a． A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 解：由=a(| sin+cos|=a；而sin+cos=a,( =|a|．故选D． ⑶ 设α≠ (k≠0，±1，±2，……)， T=． A．T取负值 B．T取非负值 C．T取正值 D．T取值可正可负 解：T=0，选C． ⑷ 下面四个图形中，哪一个面积大？ A．△ABC：∠A=60°，∠B=45°，AC= B．梯形：两条对角线的长度分别为和，夹角为75° C．圆：半径为1 D．正方形：对角线长度为2.5 解：A中三角形面积=(3+)；B中梯形面积=(3+)； C中圆面积=