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硕士论文答辩：有理三次Bézier样条曲线与PH样条曲线造型 答辩人：陈锦辉 （导师：彭群生教授） 浙江大学CADCG国家重点实验室 2002.6 主要工作 有理三次Bézier样条曲线的G 3连续 以往的曲线造型设计中，一般通过改变控制顶点的方法使Bézier曲线样条达到一定的连续阶。 本文提出了通过调整权因子而不是改变控制顶点来修改有理三次Bézier样条曲线的形状，实现了相邻两段Bézier曲线间的G 3连续拼接；实现了整体G3连续的闭曲线造型。 PH样条曲线造型 三次平面Bézier曲线在端点与端切矢不变的情况下，通过改变中间两个控制顶点使之成为PH曲线。利用三次Bézier-PH样条曲线直接逼近一般的Bézier曲线，并就其误差进行了估计。 有理Bézier曲线造型 曲线造型是计算机辅助几何设计和图形学的基础 ，其典型代表： 1. 参数形式的曲线，如Bézier曲线、B-样条曲线等； 2. 隐式曲线，如代数曲线等. Bézier曲线 Bézier曲线是由法国工程师Bézier(1910-1999)于1962年提出的，其最初形式十分奇特，令人难以理解： 1972年，Forrest把Bézier曲线表示为如下形式： 其中， 为n次Bernstien基函数，Pi为控制多边形的顶点。 Bézier曲线的表达形式简单，具有很强的几何直观性，并有许多良好的性质 。 Bézier曲线比较好地解决了整体形状控制问题。 但Bézier多项式曲线对曲线拼接与局部修改仍存在着许多问题。 B-样条曲线 1974年，Gordon与Riesenfeld将Bézier曲线进行了拓广，把n次Bernstien基函数转换成n次B-样条基函数，构造了等距节点B -样条曲线。 B-样条曲线不仅具有Bézier曲线的几何特征，而且还具有曲线形状局部可调及连续阶数可调等Bézier曲线所没有的特征。 Boehm和Cohem等人又给出了B-样条曲线的节点插入技术和升阶技术。 有理Bézier曲线 有理Bézier曲线既能表示多项式曲线，又能表示圆锥曲线，可把两者统一起来，便于编程。 有理Bézier曲线可表示为： 其中 ，为权因子。 有理Bézier曲线具有与Bézier曲线类似的性质。 有理Bézier曲线在特定的线性变换下还具有形状不变性，即其形状取决于形状因子。 有理Bézier曲线造型 在曲线造型设计中，一般采用改变控制顶点的方法来达到所需要的连续阶。 在控制顶点给定而不能改变的情况下，通过权因子（形状因子）的调整，利用三次Bézier曲线构造整体连续的样条曲线。 利用有理多项式曲线构造G3连续的样条曲线，次数最低的是有理三次Bézier曲线。 实现两段有理三次Bézier曲线的连续拼接；两段分离的有理三次Bézier曲线的连续过渡；并且实现了有理三次Bézier样条曲线整体连续的闭曲线造型。 曲线间的G2连续就是曲率连续，而空间曲线间的G3连续的本质是挠率连续。 PH样条曲线 等距（offset）曲线曲面是基曲线曲面沿法线方向距离为d的点的轨迹 。 对于一条平面曲线 ，其等距距离为d的等距曲线可表示为： 等距曲线的形状不仅受原曲线的影响，而且还受等距距离d 和局部曲率的影响。 曲线曲面的Offset一般无法表示为有理形式，从而不能被通用的CAGD系统处理。 九十年代初，Farouki给出了多项式曲线的等距曲线为有理曲线的充分条件——Pythagorean Hodograph（简称PH）条件 。 吕伟给出了具有有理等距曲线的参数曲线(Offset-Rational)-OR曲线。 对等距曲线曲面目前采用的方法主要有： 等距移动控制网格法 . 基圆包络逼近法 . 基于插值或拟合的方法 . 平面三次Bézier-PH曲线 目前，大部分逼近方法所得到的等距曲线通常是Bézier曲线，但所得的Bézier曲线具有较高的次数，或需要对原曲线进行多次离散，从而需要大量的数据存贮。 根据PH条件，得出了平面三次Bézier曲线在端点与端切矢不变的情况下，通过改变中间两个控制顶点使之成为PH曲线——平面三次Bézier-PH曲线。 利用所得的平面三次Bézier-PH曲线逼近一般的平面曲线，从而得到原曲线的等距曲线。 连续的有理三次Bézier样条曲线造型 有理三次Bézier曲线的各阶端点切向量 平面有理三次Bézier曲线： 两个独立的参数