11习题课(无穷级数).ppt

第十一部分：无穷级数 第十一部分 无穷级数 4. . * ? 一 重点与难点 1.无穷级数及其收敛、发散的概念； 无穷级数的基本性质及收敛的必要条件； 正项级数的比较审敛法及几何级数和 p-级数的收敛性； 正项级数的比值审敛法和根值审敛法； 交错级数的莱布尼茨定理，级数绝对收敛和条件收敛的概念和判别方法。 (1) 填空(10个) (2) 判断是非(14个) 2.理解函数项级数的收敛域与和函数的概念； 熟练掌握确定幂级数收敛域的方法； 会求简单的幂级数的和函数； 3.函数可展为幂级数的充要条件； 掌握ex,sinx , cosx , ln(1+x) , (1+x)? 的麦克劳林展开式 会用间接法把函数展开成幂级数。 5. 掌握傅立叶级数的收敛定理，熟练地把周期为 2? （或2l )的函数展开成傅立叶级数； 掌握函数延拓思想，会把[0,?](或[0,l ] )上的函数 展开成正弦级数和余弦级数； 会用傅立叶级数求某些简单的数项级数的和。 二 典型例题(8个) 三 课堂练习(4个) 一 重点与难点. 充 要 几何 |r| 1 |r| ?1 它的前n项和序列{Sn} 级数 的敛散性 . +? 1.几个基本概念和理论. (1) 填空 . P–级数 P 1 P ? 1 比较法 比值法 根值法 积分法 交错级数 . . ? u1 ? un+1 必定发散 仍然收敛 不变 . . . . √ √ × × (2) 判断是非 （是：√；非：×, 后者请举反例.） √ √ × . 例： √ × × × . × √ × 例： . . 先求出R, 令 y = x–x0, . 先考虑 再换回 x 的收敛区间。 2. 确定幂级数收敛域 . . . . 再考虑端点x=±R处的敛散性. . 3. 函数可展为幂级数的充要条件 为函数 f (x)的泰勒级数。 为函数 f (x)的麦克劳林级数。 . . . . . 4. 五个重要函数的幂级数展开式 f (x): 1o. 连续或只有 有限个第一类间断点； 2o. 至多有有限个极值点。 充 分 . . . 5.傅立叶级数 . . . 5.傅立叶级数 . . . . . . . . . 答：如果仅要求在有限区间内把非奇函数展开成正弦级数， 是可以的。 例如： 这就是奇延拓。 把F(x)按周期2?延拓后展成正弦级数 则当 x?(0, ?)时，这就是 f (x)的正弦级数。 . . 采用奇延拓的方法。 . (9) 奇函数以外的函数可以展开成正弦级数吗？ (10) (11) (12) (13) . . 0 [–? , ? ] . 1 . (正) (0) . 二 典型例题 例 1 . . . . . . 解： 例 2 . . 解： 二 典型例题 由比值法： 由收敛的必要条件： . . . 解： 例 3 . . 解： 例 4. . （为什么？） ?R = 2 解： . . ？ 展开式4 = （由原级数知.） 例 5 解： . . . . . . . 例 6 解： = 2e – (e – 1 ) = e + 1 . . . . 展开式 1 . 例 7 解： = 0, n = 1, 2, ··· n = 1, 2, ··· . 例 8. 解： 和函数 s (x)的图形如下： 函数 f (x) 的图形如下： . . . o x y ? –? 3? –3? f (x) . s (x) 例 8 三. 课堂练习 * * *