已用 3.2立体几何中的向量方法(二).ppt

思考题：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1 B1 C1 D1 A B C D 图1 解:如图1,不妨设 化为向量问题 依据向量的加法法则， 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。 A1 B1 C1 D1 A B C D H 分析：面面距离转化为点面距离来求 尝试： ∴所求的距离是 变形： 晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(设棱长为1) 几何法较难,如何用向量知识求点到平面的距离? 几何分析加向量运算 妙!妙!妙! 能否用法向量运算求解呢? 可证得 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （化为向量问题或向量的坐标问题） （进行向量运算） （回到图形） 一、点到平面的距离 D A B C G F E x y z D A B C G F E x y z A P D C B M N 解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz 则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, ) D M P N A x C B z y 例2：如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. B A C D 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 例3：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图， 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 于是，得 设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 因此 A B C D 图3 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 二、异面直线的距离 z x y A B C C1 即 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 E A1 B1 练习: 已知正方体 的棱长是1，则直线 与 间的距离. 课外练习: 正三棱柱 中，D是AC的中点,当 时，求二面角 的余弦值.. C A D B C1 B1 A1 解:如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设底面三角形的边长为a，侧棱长为b 则 C(0,0,0), 故 由于 ,所以 ∴ y x z C A D B C1 B1 A1 在坐标平面yoz中 ∵ 设面 的一个法向量为 可取 ＝（1，0，0）为面 的法向量 ∴ * 广东省阳江市第一中学周如钢 * 广东省阳江市第一中学周如钢 * 知识要点2 * 例1 * 例1答案 * 例2 * 例2答案 * 例2答案 * 例3 * 作业及练习 * 作业及练习 * 例2答案 * 例3