复杂应力态强度问题.doc

复杂应力状态强度问题 8-4 试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力? r3 ，弹性常数 E 和 ? 均 为已知。 (a) 棱柱体轴向受压； (b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。 题 8-4 图 (a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图 a），三个主应力依次为 σ1 ? σ2 ? 0，σ3 ? ?σ 由此可得第三强度理论的相当应力为 σr3 ? σ1 ? σ3 ? σ  (a) (b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图 b），可先取受力微体及坐标如 图 8-4 所示，然后计算其应力。 由图 8-4 可得  σ y ? ?σ 根据刚性方模的约束条件，有 εx ? 即 1 [σ E x  ? μ(σ y  ? σ z  )] ? 0 σ x ? μ(σ y ? σ z ) 注意到  σ z ? σ x 故有 σ x ? σ z  ? ? μ σ 1 ? μ 三个主应力依次为  σ1 ? σ2  ? ? μ 1 ? μ  σ，σ3  ? ?σ 由此可得其相当应力为  σr3  ? σ1  ? σ3  ? 1 ? 2 μ σ 1 ? μ  (b) 比较：按照第三强度理论，(a)、(b)两种情况相当应力的比值为 σ r ? r3( a ) ? σ r3( b )  1 ? μ 1 ? 2 μ r ? 1 ，这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。 8-5 图示外伸梁，承受载荷 F = 130kN 作用，许用应力[ ? ]=170MPa。试校核梁的强 度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。 解：1.内力分析 题 8-5 图 3由题图可知， B? 截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为 3 Fs ? F ? 130kN， M ? Fl2 ? 130 ?103 N ? 0.600m ? 7.80 ?10 4 N ? m 2．几何量计算 3I ? [ 0.122 ? 0.280 3 z 12 ? 5 ? (0.122 ? 0.0085) ? (0.280 ? 2 ? 0.0137) 12  ]m4 ? 7.07 ? 10? 5 m4 W ? 7.07 ? 10 z 0.140 m3 ? 5.05 ? 10? 4 m3 S z ( b ) ? 0.122 ? 0.0137 ? (0.140 ? 0.0137 )m3 ? 2.23 ? 10? 4 m3 ? 2S 2  z ( a ) S z , max ? [2.23 ? 10? 4 ? 1 ? 0.0085 ? (0.140 ? 0.0137)2 ]m3 ? 2.90 ? 10? 4 m3 2 式中的足标 b ，系指翼缘与腹板的交界点，足标 a 系指上翼缘顶边中点。三个可能的危险点 （ a 、 b 和 c ）示如图 8-5。 3．应力计算及强度校核 点 a 的正应力和切应力分别为 M σ ? ?  7.80 ?104 N  ? 1.545 ?108  Pa ? 154.5 MPa zW 5.05 ?10?4 m2 z 3 ?4 F S τ ? s z ( a ) ? 130 ?10 ?1.115 ?10 N ? 1.496 ?107  Pa ? 14.96  MPa I z t 7.07 ?10?5 ? 0.0137m2 该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为 ? r 3 ? ? 2 ? 4? 2 ? 154.52 ? 4 ?14.96 2 MPa ? 157.4MPa ? [? ] 点 b 的正应力和切应力分别为 σ ? M yb  43? 7.80 ?10 4 3  ? (0.140 ? 0.0137)N ? 1.393 ?108  Pa ? 139.3 MPa zI 7.07 ?10?5 m2 z F S τ ? s z ( b ) ? 130 ?10 ? 2.23 ?10?4  N ? 4.82 ?107  Pa ? 48.2  MPa I z δ 7.07 ?10?5 ? 0.0085m2 该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为 ? r 3 ? 139.3 2 ? 4 ? 48.2 2 MPa ? 169.4MPa ? [? ] 点 c 处于纯剪切应力状态，其切应力为 F S τ ?? s z , max  3? 130 ? 10 3  ? 2.90 ? 10?4  N ? 6.27 ? 107  Pa ? 62.7  MPa 其相当应力为 I z δ 7.07 ? 10? 5 ? 0.0085m 2 ? r 3 ?