实数完备性定理的等价证明及应用 -毕业论文.doc

【标题】实数完备性定理的等价证明及应用 【作者】戴 华 东 【关键词】单调有界定理　　区间套定理　　罗尔（Rolle）中值定理　　Botsko定理　　Dedekind?分割原理 【指导老师】苟清明 冯 彬 【专业】小学教育 【正文】1?引言???在数学史上,?实数系的逻辑基础——实数理论至19?世纪末叶才建立起来,?而实数理论的建立,?使得分析中注入了严密性。实数理论是数学分析的理论基础,?而实数系完备性定理又是实数理论中的重要内容之一。与之相关的六个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的，它们从不同的角度刻划了实数系的完备性或连续性，并且它们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如一致连续性定理、罗尔（Rolle）中值定理、Botsko定理、Dedekind?分割原理等。因此在理论上具有重要价值。2?预备知识定理2.1：确界原理非空有上（下）界的数集，必有上（下）确界。定理2.2：单调有界定理任何有界的单调数列一定有极限。定理2.3：区间套定理设?为一列闭区间，满足条件：??(n=1,2,?);???,则存在唯一一点??且?定理2.4：有限覆盖定理设?是一个闭区间，?为?的一个开覆盖，则在?中必存在有限个开区间，它构成?上的一个开覆盖。定理2.5：聚点定理　　直线上的有界无限点集?至少有一个聚点。定理2.6：Cauchy收敛准则数列?收敛的充要条件是：对任给的正数?，总存在某一个自然数N，使得当 N时，都有?。定理2.7：Botsko定理?若?是?的一个完全覆盖，则?包含?的一个分划，即存在?，使每个闭区间??都属于?。定理2.8：闭区间上连续函数的整体性质　设?在?上连续，则?有如下四个整体性质：１）?（有界性）?在?上有界；?２）?（最值性）?在?上存在最大、小值；3?）??（介值性）?若?,?为?内任一数，则?，使?；４）?（一致连续性）?在?上一致连续。定理2.9：罗尔（Rolle）中值定理若?在?上连续，在?内可导，?，则至少存在一点?，满足?。定理2.10：完全覆盖定义闭区间?的闭子区间族?称为?的一个完全覆盖，是指对任一?，存在?，使得?的每个含有?且长度小于?的闭子区间都属于?。定理2.11：Dedekind?分割原理全体实数R′的任何一个分割??,只能要么X有最大数, Y无最小数;要么X?无最大数, Y有最小数。即对R′的任何一个分割??,必存在唯一的实数?,使对任意的?,有?或?。3?主要结果?推导1：确界原理?单调有界定理[1]证明:不妨设?是递增有上界数列。由确界原理，数列?有上确界，令?，下证明?就是?的极限。事实上，任给?，依上确界的定义，存在数列?中某个项??，使得?，又由?的递增性，当n≥N时，都有?。另一方面，由于a是?的一个上界，故对一切??都有?，因而更有?，于是有：任给?，存在自然数?，使得当?时，都有?，即?　同理可证，有下界的单调数列也有极限。推导2：单调有界定理?区间套定理[2]证明:由区间套的定义可知，各闭区间的端点满足：??所以，?为递增有界数列，依单调有界定理，数列?必有极限。设?且?○1同理递减有界数列?也有极限。又由区间套定义??,有?且?②联合①?、②?即得??下证?是唯一的。设另有一数?满足??，??则有?而　?故?根据区间套定理，可以推出如下区间套性质：推论　若?是区间套?确定的点，则对任何正数?，存在自然数?，当?时，总有?闭区间套定理的几何定义是：有一列闭线段（两个端点也属于此线段），后者被包含在前者之中，并且由这些闭线段的长构成的数列以0为极限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点。推导3：区间套定理?有限覆盖定理[3]　　证明:设μ是闭区间?的一个开覆盖。假如?不能被μ中任何有限个开集覆盖,将?等分为两个区间,则其中至少有一个区间不能被μ中任何有限个开集覆盖,记此区间为?。再等分?,同样至少有一个不能被μ中任何有限个开集覆盖,记此区间为?,如此继续下去,得到一列闭区间?,??,?……,??,……,这列闭区间满足:(i) 任何一个?都不能被μ中任何有限个开集覆盖。(ii)???(iii)???据区间套定理,存在唯一实数???，且?。因?覆盖了?,故?中至少有一个开集,从而至少有一个开区间?,使得?由极限性质知存在??,当?时有?,即??。因此,???覆盖了???,这与(i)?矛盾。推导4：有限覆盖定理?聚点定理[5]证明:设?为直线上有界无穷点集，则存在?，使?中任何点不是?的聚点，则对每一个?，必存在相应的?，使得在?内至多含有E的有限多个点。