数学建模论文范文(1).doc

?1 问题的提出? 位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地区。过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。2009年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。 为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。从两方面考虑，一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。铺设管道的费用为（万元），其中表示每年的可供水量（万吨/年），表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨水。 政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。 表1 现有各水井在近几年的产水量（万吨） 年份 产水量 编号 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 1号井 32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7 2号井 21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0 3号井 27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2 4号井 ? 46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3 表2 8个位置打井费用（万元）和当 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 打井费用 5 7 5 4 6 5 5 3 当年产水 25 36 32 15 31 28 22 12 2 问题的分析 ?题中要求制定一个总费用（决策目标）最小的抗旱（打井，铺设管道）方案，属于优化问题，并且使得该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，每年费用不超过60万元。（此两点为主要约束条件） ?其他的约束条件有： a.每口井只能在2010年开始，连续三年中的其中一年施工 b.铺设管道费用为万元整数倍 c.由于河位于与该村相隔20公里外的地方,所以管道总长度不小于20公里 d.铺设管道需要3年时间,故前3年管道供水量为0,而第4,5年供水量不小于100万吨。 故此模型即为基于以上约束条件的整数规划（最优决策目标）问题。 3 模型的假设 忽略小蓄水池的作用和利息因素 不考虑意外情况导致所需经费增加 假设井在年初修建且时间很短，修完之后即可利用，管道铺好后即可用于供水 假设这五年之内村民需水量基本稳定 假设井供水量呈稳定规律变化，不考虑其他因素对产水量的影响 从长远利益考虑，打井和铺设管道两个方案应同时协调进行 4 符号说明 Xij 0—1变量，表示第i号井在第j年的施工情况，Xij=1第i号井在第j年施工，Xij=0表示不施工 Zj 第j年的总费用 Pj 第j年的铺管道费用 Lj 第j 年铺管道公里数 Wj 第j 年的水量 Q 管道供水量 Nj 所有新建的水井在第j年的产水量 ? ? 5 模型建立 决策变量为三年间铺设管道和打井的总费用。0—1变量Xij表示i号井j 年是否施工，为1则施工,产生费用，Pj表示第j年的铺路费用。所以第j年的总费用Zj=5*X1j+7*X2j+5*X3j+4*X4j+6*X5j+5*X6j+5*X7j+3*X8j+Pj 三年费用min Z=Z1+Z2+Z3 =5*X11+7*X21+5*X31+4*X41+6*X51+5*X61+5*X71+3*X81+P1+ 5*X12+7*X22+5*X32+4*X42+6*X52+5*X62+5*X72+3*X82+P2+ 5*X