用空间向量求角〔一〕.ppt

一、知识再现 * * 用空间向量处理 立体几何的问题 利用向量解决 空间角问题 z x y o A(x,y,z) 1、空间直角坐标系 z x y o j k i 2.向量的直角坐标运算 3.夹角和距离公式 O j i k X Y Z A B 4.平面的法向量 如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ 如果 ⊥ ，那么向量 叫做平面 的法向量. 二、用向量处理角的问题 异面直线所成角的范围： 思考： 结论： 1.线线角 例一： 1.线线角 例1： 1、线线角 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以： 所以 与 所成角的余弦值为 练习： 在长方体 中， 2、利用法向量求斜线与平面所成的角； 若斜线AB与平面 所成的角为 ，点A在平面 内的射影为O点。 是平面 的一个法向量，由图知， ， 均为锐角， 为钝角，且 ， 。则 例2.正方体 中， 是 的中点，求 与平面 所成的角。 ，设正方体的棱长1，则： 解：建立空间直角坐标系 设平面 的法向量为 z x y 令 ，设 与平面 所成的角为 ，则： 练习：在正方体 中，求 与平面 所成的角的余弦值。 3、利用法向量求二面角的平面角； 设 的二面角为 ， 与 是指向二面角外侧与内侧 结论：二面角的平面角等于指向二面角内侧与外侧的两 个平面的法向量所成的角。即： （ 与 的指向不同） 的这两个平面的法向量，由图可知： 例3．在长方体 中， E为 的中点，求二面角 的正切值。 ，则： 设平面 法向量为 ，则： 解：建立空间直角坐标系 z x y 令 ， 由图可知，平面 的法向量为 ，设二面角 的平面角为 ， 练习：在直三棱柱 中， 为 的中点， 点在 上且 (1)求证： 面 (2)求二面角 的大小。 ； 小结： 1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角： 关键：观察二面角的范围 B A O B` A` O` D P X Y Z