2018年初三数学中考模型之费马点问题（含答案）.doc

费马点的问题 定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。 性质：费马点有如下主要性质： 1． 费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2． 费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 3． 费马点为三角形中能量最低点。 4． 三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。 例1：已知：△ABH是等边三角形。 求证：GA+GB+GH最小 证明：∵ △ABH是等边三角形。G是其重心。 ∴ ∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。 以HB为边向右上方作等边三角形△DBH. 以HG为边向右上方作等边三角形△GHP. ∵ AH=BH=AB=12. ∴ ∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴ A、G、P三点一线。 再连PD两点。 ∵ △ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°. ∴ ∠PHD=30°,. 在△HGB和△HPD中 ∵ HG=HP ∠GHB=∠PHD； HB=HD； ∴ △HGB≌△HPD； （SAS） ∴ ∠HPD=∠HGB=120°； ∵ ∠HPG=60°. ∴ G、P、D三点一线。 ∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。 ∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。 例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。 求证：GA+GB+GC最小 证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △HGB≌△HPD； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD. ∵ ∠GCP=60°, ∴ ∠BCD=60°, ∴ △GCP和△BCD都是等边三角形。 ∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°. ∴ A、G、P三点一线。 ∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°. ∴ G、P、D三点一线。 ∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。 ∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. ∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。 但它不同于等边三角形的费马点是重心。 例3：已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。 求证：GA+GB+GC最小 证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB≌△CPD； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD. ∵ ∠GCP=60°, ∴ ∠BCD=60°, ∴ △GCP和△BCD都是等边三角形。 ∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°. ∴ A、G、P三点一线。 ∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°. ∴ G、P、D三点一线。 ∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。 ∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. ∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。 但它不同于等边三角形的费马点是重心。 （费马点问题如图是边长为内的任意一点求的取值范围 解：Part1:将绕点顺时针旋转，易知为等边三角形.从而（两点之间线段最短），从而. Part2:过作的平行线分别交于点. 因为在和中①， ②。 又，所以③. ①+②+③可得 ， 即.综上，的取值范围为 “费马点”与中考试题 费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一　费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最的点对于一个角不超过°的三角形，费马点是对各边的张角都是°的点对于一个角超过°的三角形，费马点就是内角的顶点三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问题．