2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习10正方形存在性问题（含解析）.docx
专题10正方形存在性问题
（2024?无锡）
1．已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024?绥化三模）
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标；
(3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023秋?斗门区期末）
3．【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过?请通过计算进行说明（货船看作长方体）；
(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于，求的最大值．
②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024?滨州模拟）
4．综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
（2024?甘肃模拟）
5．如图，二次函数的图象交x轴于点A，，交y轴于点，点M是直线上方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴，垂足为点D，交于点E．
(1)求二次函数的解析式和点A的坐标；
(2)连接，交y轴于点F．
①当时，求点M的坐标；
②连接，四边形有可能是正方形吗？如果有可能，此时的正切值是多少？如果没可能，请说明理由．
（2024?香洲区三模）
6．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上.
(1)如图1，已知点O0,0，，在抛物线上，则________；_______；
(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系.
（2024春?天河区校级月考）
7．在平面直角坐标系中，已知抛物线，点A在抛物线G的对称轴上，且在x轴上方．
(1)求抛物线G与x轴交点的坐标（用含a的式子表示）；
(2)已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在抛物线对称轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值，如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
(3)在抛物线G上存在两点B、D，且B、D在对称轴右侧，点B在点D的左侧，使得四边形是正方形，求动点的纵坐标y，在的最大值．
参考答案：
1．(1)
(2)存在，点的坐标为或或或或或．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当为正方形的边时，
①∵，
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，
∵轴，
∴，
∴，则，
设，则，
∴，
∴点N的纵坐标为，
即，
∵以，，，为顶点的四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如