专题报告-海洋大学.DOC

專 題 報 告 Euler樑直接邊界元素解法 摘要 在本研究計畫中，探討利用「對偶積分元素法」來解決尤拉樑之變形分析的問題。 首先對一維Laplace桿問題為範例來探討邊界積分方程。藉由桿的分析，從已知控制方程式，利用分段法推得其基本解及退化核，再藉由功能互換定理及分部積分可得到對偶積分方程，由對偶架構的概念對s（source point）微分，其中，， 及基本邊界條件(essential boundary condition) 及混合型邊界條件來探討固定端、自由端與簡支端的邊界。藉著計畫中理論建立與公式推導之過程，對於邊界積分方程之相關背景知識，可做一初步的入門與了解，為往後研究生涯做準備，並培養獨立思考的能力，學習研究的方法，建立日後研究能力的良好基礎。 研究方法及步驟 首先，以一維Laplace問題為範例來學習邊界積分方程，說明如下圖一： 圖一(a)位移自由度 圖一(b)軸力自由度 考慮一桿之問題，其控制方程式為： , 為桿之軸向變形量,為欲解問題之領域，並引入一輔助系統： 其中，為Dirac Delta 由分段法可得基本解 及退化核 藉由功能互換定理及分部積分技巧，可得： 　　 　　 可得邊界積分方程： （1） 由對偶架構的概念將式（1）對s微分可得二條邊界積分方程： （2） （3） 其中，，， 四個核函數之函數圖形分別如下所示 四個核函數的退化核， 由（1）式（） 當， 整理可得 (4) 當， 整理可得 (5) 由(4)、(5)式可得如下的矩陣形式 (6) 由(6)式 (7) 由（3）式（） 當，整理可得 (8) 當， 整理可得 (9) 由(8)、(9)式可得 (10) 將(6)、(10)式表為下列形式： 可得表一 表一：一維桿對偶邊界積分元素法推導之影響係數矩陣與對偶矩陣 Equation [A] [B] [K]= [B]-1[A] （4）、（5） Rank=1 Rank=2 （8）、（9） Rank=1 NA 圖二(a)樑之位移自由度 圖二(b)樑之廣義力自由度 考慮一尤拉樑問題，其控制方程式為： ，其中，為樑長 為樑之側向位移,為欲解問題之領域,並引入一輔助系統： 藉由功能互換定理及分部積分之技巧： 可得邊界積分方程： (11) 由對偶架構的概念可得四條邊界積分方程： (12) (13) (14) (15) 為簡化問題，此處將EI設為1， 其中，分別代表撓度、傾角、彎矩、剪力。 因此，我們可得16個核函數的關係， 16個核函數的退化核， 表三：說明十六個核函數表示式 表四：說明十六個核函數表示式 表五：說明十六個核函數表示式 由(12)～(15)式任取2式，並配合核函數退化核表二～五，表為下列矩陣形式，可得表六，其中空格處即為本研究計畫要完成的 研究結果 表六 Equation [A] [B] [K]= [B]-1[A] (12)、(13) Rank=4 (12)、(14) Rank=4 (12)、(15) Rank=3 NA (13)、(14) Rank=3 NA (13)、(15) Rank=3 NA (14)、(15) Rank=2 NA 可將一Laplace方程的桿問題順利推廣至Biharmonic方程的樑問題。, 邊界元素法, 新世界出版社, 台北, 1992. 陳桂鴻, 對偶邊界積分方程式在聲場上之應用碩士論文, 海洋大學, 基隆, 1997. C. Ray Wylie and Louis C. Barrett, Advanced Engineer Mathematics, McGraw-Hill Inc., New York, 1996. J.T. Chen and F. C. Wong, Analytical derivations for one-dimensional eigenproblems using dual boundary element method and multiple reciprocity method, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol.20, pp.25-33, 1997. W. Yeih, J.T. Chen and C.M. Chang, Applications of dual MRM for determin