(1993年全国初中数学联赛试题及答案修正版.doc

1993年全国初中数学联赛试题 一、选择题 1．多项式x12－x6＋1除以x2－1的余式是（ ） A．1 B．－1 C．x－1 D．x＋1 2．对于命题：Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形．Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形．以下四个结论中正确的是（ ） A．Ⅰ、Ⅱ都对 B．Ⅰ对、Ⅱ错 C．Ⅰ错、Ⅱ对 D．Ⅰ、Ⅱ都错 3．设x是实数，y＝|x－1|＋|x＋1|，下列四个结论： Ⅰ. y没有最小值． Ⅱ. 只有一个x使y取到最小值． Ⅲ. 有有限多个(不止一个)x使y取到最小值． Ⅳ. 有无究多个x使y取到最小值． 其中正确的是（ ） A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 4．实数x1，x2，x3，x4，x5满足方程组 其中a1，a2，a3，a4，a5是常数，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则x1，x2，x3，x4，x5的大小顺序是（ ） A．x1＞x2＞x3＞x4＞x5 B．x4＞x2＞x1＞x3＞x5 C．x3＞x1＞x4＞x2＞x5 D．x5＞x3＞x1＞x4＞x2 5．不等式x－1＜(x－1)2＜3x＋7的整数解的个数（ ） A．等于4 B．小于4 C．大于5 D．等于5 6．如图，在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC， 则cos(∠OBC＋∠OCB)的值是（ ） A.- B. C. D.- 7．如图，锐角三角形ABC的三边是a，b，c， 它的外心到三边的距离分别为m，n，p， 那么m∶n∶p 等于（ ） A.：： B．a∶b∶c C．cosA∶cosB∶cosC D．sinA∶sinB∶sinC 8．可以化简为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1.当x变化时,分式的最小值是_________. 2．放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有______个小球． 3．若方程(x2－1)(x2－4)＝k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k＝______． 4．如图，锐角三角形ABC中，∠A＝30°，以BC边为直径作圆， 与AB、AC分别交于D、E，连接DE，把三角形ABC分成 三角形ADE与四边形DBCE，设它们的面积分别为S1、S2， 则S1∶S2＝______． 三、解答题 1. 如图，设H是等腰三角形ABC的垂心，在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小，这时乘积S△ABC·S△HBC 的值变小，变大，还是不变？证明你的结论． 2. 如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13．在边AB，AC分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样的线段的最小长度． 3. 已知方程x2＋bx＋c＝0及x2＋cx＋b＝0分别各有两个整数根x1，x2和x1＇，x2＇，且x1x2＞0，x1＇x2＇＞0． (1) 求证：x1＜0，x2＜0，x1＇＜0，x2＇＜0； (2) 求证：b－1≤c≤b＋1； (3) 求b、c所有可能的值． 一九九三年全国初中数学联赛参考答案 一、选择题 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D 二、填空题 （1）4 （2）7 （3） （4）3 三、解答题 1. 解法一 不妨设角A是锐角，边结AH并延长交BC于D点，延长BH，CH，分别交AC，AB于E，F， ∵∠BHD＝∠AHE， ∴∠HBD＝∠HAE． 因此，Rt△BDH∽Rt△ADC， ∴＝ 又∵BD＝DC＝ BC ∴AD ?HD＝BD ?DC＝ BC2 于是，S△ABC·S△HBC＝（ AD ?BC）?（ HD ?BC）＝ BC? 当∠A≥90°时，同理可证上式也成立．由于BC是不变的，所以当A点至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变． 解法二 作图如解一，再延长AD至G，使DG＝DH，并分别连结BG、GC，由△HBD≌△GBD知， ∠CBG＝∠CBH＝∠CAG，因而A，B，G，C四点共圆． 由相交弦定理，得AD ? HD＝AD ?GD＝BD ? DC＝ BC2 因此，S△ABC·S△HBC＝（ AD ? BC）?（ HD ? BC）＝ BC? 由于BC是不变的，所以当点A至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变． 2. 解由52＋122＝1