金融工程施工复习资料.docx
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假设一种 1 年期的美式股票看涨期权，标的股票在 5 个月和 11 个月后各有一个除权日， 每个除权日的红利期望值为 1.0 元，标的股票当前的市价为 50 元，期权执行价格为 50 元，标的股票波动率为每年 30%，无风险连续复利年利率为 10%，求该期权的价
值。
第一步：美式看涨期权不能提前执行的条件是
Di X [1
e r (ti 1
t i ) ] 和
Dn X[1
e r (T
tn ) ] ，又因为
D1 D2
1元，第一次除权日前不等式右
边为 X [1
e r ( t1
t 2 ) ]
50 (1
e 0.1
0.5 )
2.4385 1 元，因此在第一个除权
日前期权不应当执行。第二次除权日前不等右边为
X [1
e r (T
t2 ) ]
50 (1
e 0.1 0.0833 )
0.4148
1 元，因此在第二个除权日前
有可能提前执行。
第 二 步 ： 对 1 年 期 欧 式 看 涨 期 权 来 说 红 利 的 现 值 为
1.0
e 0.1
0.4 1 6 71.0
e 0.1 0 .9 1 6 7 1.8 7 1 元6
，因此 S I
50 1.8716
48.1284 ,
代入公式得：
c12
48.1284 N (d1 )
50e
0.1 1N ( d )
248.1284 N (d1)
2
45.2419 N ( d2 ) 式 中
dln( 48.1284 / 50)
d
1
0.3
( 0.1
1
0.09 / 2) 1
0.3562 d 2
0.3
0.3
1 0.0 5由 5
于 N (0.3562)
0.6392, N (0.0562)
05224, 因此，
c12
48.1284
0.6392
45.2419
0.5224
7.1293 元
对 11 个月期的欧式看涨期权来说，红利的现值为
1.0
e 0.1
0.4167
0.9592 元，因此，
S I 50
0.9592
49.0408，
带入公式
c11
49.0408N (d1 )
50e
0.1
0.9167 N ( d )
49.0408 N (d1 )
45.6203 N (d 2 ) 式中
2dln( 49.0408 / 50) (0.1 0.09 / 2)
2
d
1
0.9167
0.3952
0.3 0.9167
d 2 0.3952
0.3
0.9167
0.1080 ，
c11
49.0408
0.6536
45.6203
0.543
7.2812 元，由于
c11 c12 ，因此该美
式看涨期权应为第二个除权日提前执行，相应的其价值近似为
7.2812 元
在风险中性的世界中，欧式看涨期权的价格 c 等于其期望值按无风
险利率贴现的现值： c
e r (T
t) E?[max( S
X ,0)]
式中，
E?( ) 表
T示风险中性世界中的期望值；同时，在此风险中性世界中，期权到期
T
T 时期标的资产价格 ST 服从如下的对数正态分布
ln ST ~
[ln S (r
2
)( T
2
t),
T t ]
令 W ln ST m 这里
s
m E?(ln
ST )
ln S (r
2
)(T t ) s
2
v a r (SlTn)
T t 显然
W ~ N(0,1)
W 的密度函数
h(W ) 为
h(W )
W 2
1 e 2 则
TX2
T
X
E?[max( ST
X ,0)]
max( ST
X ,0) f ( ST )dST = (S
X ) f
(ST )dST
ln X
(eln ST
X )g (ln
ST )d (ST )
ln X
s
(esW m
X )h(W) dW
esW m
e
ln X m s
2
mw1 e 2 dW 2
m
w
ln X s
m Xh(W )dW
ln X
s
s 2
m
m e 2
1 (W
e
2
s) 2
2 dW
XN( m
S
ln X ) s
2
s 2
ln X m e 2 s
s
m
h(W) dW
ln
XN{ X
(r )(T t) 2 }
T t
Ser ( T
t ) N
ln S X
2
(r )(T t ) 2
TT t
T
ln S
XN X
2
(r )(T t )
2 故此
2T t
2
c e r (T
t ) E?[max( S
X ,0)]
SN( d1)
Xe r (T
t) N (d ) 式中
ln( S )
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