应用概率统计例题.doc

3）复合系统的可靠性最优设计问题 设计一种电子设备，该设备由三个子系统组成，每一个子系统由相同的且相互独立工作的电子元件并联而成，其单价分别为，，三种元件正常工作的概率（称为元件使用的可靠度）分别为，三个子系统间为串联结构，要求总费用不超过105个单位，如何设计可使系统的可靠性最大。 解：（1）、设表示第k个子系统并联元件的个数， 又设表示第k个子系统到第3个子系统的总费用， 由题意有表示方括号内的取整数部份， 且有，为最优值函数，表示第k个子系统可用总费用为时，从k到第3个子系统的可靠度最大。由子系统并联元件的概率为： ，则有： 最优设计方案 ，系统可靠度为， 验证：第1个子系统的可靠度为 第2个子系统的可靠度 第3个子系统的可靠度 系统可靠度为 例6、设总体的密度函数为 为未知参数，为简单随机样本， 求（1）的矩估计量和最大似然估计量， （2） 讨论估计量的无偏性. (1) 令，则：， 为的矩估计量 又的联合概率密度为 则的最大似然估计量为 （2）由 对的矩估计量 ，不是无偏估计量。 对的最大似然估计量， ，是无偏估计量。 区间估计 例1:某厂生产一批清漆，为考虑该批清漆的平均干燥时间及离散程度，任取n=9个样本。测得干燥时间分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0小时；设总体的干燥时间服从一般正态分布，即 ~ 。 （1）若=0.36，求总体平均干燥时间的95%的置信区间； 解：1 总体的方差已知 对作区间估计，取统计量及分布： ， 2 对，查表取， 双侧区间估计，如图 使， 3 将 代入并解不等式，有： ， 则：， 4. 由样本值： ， 5.可以认为该批产品的平均干燥时间以95%的可能性落在区间内。 （2） 1.未知，用代替，取统计量及分布 2、 如图示，使： 3、代入， 4.代样本值，=6.0 5．可以认为该批产品当方差未知时，平均干燥时间以95%的可能性落在区间内。 （3）求的95%的置信区间。 1.取统计量及其分布， ， 2.对，双侧区间估计， 取， 使， 如图： 3.代有： 4、由样本值： ， 5.可以认为该批产品平均干燥时间的方差以95%的可能性落在区间内。 例3：两个正态总体的假设检验 假设两个公司生产同类型电子产品，其使用寿命分别为为检验两个公司产品的质量是否一致。任取=9个样本，测得，个样本，测得；对显著性水平 两个公司的生产的同类电子产品的质量是否有显著性差异。 解答：（1） 首先检验正态总体的均值差 或者 2 在条件下 取统计量及其分布 其中， 3 对显著性水平查表 使得 在成立下 拒绝域 5．样本值不在拒绝域内，小概率事件没有发生，即可认为两家公司产品的寿命没有显著性差异。 （2）检验产品使用寿命的方差比 1 . 选取统计量及其分布 3． 对显著性水平查表 使： 拒绝域 ： 或者 ，双侧检验， 4. 当 成立时，代样本值 5．由 样本值不在拒绝域内，接受，即可认为产品使用寿命方差没有显著性差异。 综合（1）（2）可以认为两家公司生产同类产品质量没有显著性差异。 a.无交互作用的双因素方差分析 b.有交互作用的双因素方差分析 对已给的显著性水平，查表得： 因 所以应拒绝，说明燃料、推进器和它们的交互作用对火箭射程都有显著影响，尤其是以交互作用的影响更为显著。 一元线性回归 ☆例1、为研究建材产量（万吨）与基建投资额（亿元）之间的相关关系以及建立他们的线性关系，统计了某市一年12个月，数据如下： ：13.55，14.38，15.52，15.17，17.48，17.63，20.05，23.14，25.25，25.88，24.83，27.40. （亿元） ：7.65， 8.09， 8.31， 7.88， 8.90， 8.41， 9.53， 11.01，11.19，11.13，10.77，11.35. （万吨） (1)建立与的回归方程； n=12， ， ， 则 ， ， 一元回归方程为 ， 回代原始数据初步验证， ， ， ， 又对 ，，， 有一定误差但在可控范围内，一元回归方程的系