2016届绵阳一诊数学试题及答案.doc

绵阳市高2013级第一次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． CBCBD BACCC 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13．a≥2 14．7 15．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解 ：（1）∵ m⊥n， ∴ m·n=(cosα，1-sinα)·(-cosα，sinα)=0， 即-cos2α+sinα-sin2α=0． ……………………………………………………3分 由sin2α+cos2α=1，解得sinα=1， ∴ ，k∈Z.…………………………………………………………6分 （2） ∵ m-n=(2cosα，1-2sinα)， ∴ |m-n|= ， ………………………………………………………9分 ∴ 5-4sinα=3，即得， ∴ ． ……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)． ∴ （常数）．………………………………………………………3分 此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列， ∴ ，于是an=2n-1． ………………………………………6分 （2）∵.…………………………………………………………………7分 ∴ ， 两边同乘以，得 两式相减得 ， ∴．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为an，捐资总额为bn． 则an=80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n. ……………………………2分 ∴ 当a=10时，an=10n+70， ∴ ， 解得：n8． ……………………………………………………………………5分 即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分 （2）由题意：(n1)， 即 ，………………………………………………8分 整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)0， 即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n 化简得80-5a 解得a16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人． ??……………………………………………12分 19．解：（1）在Rt△ABC中，AC=ABcos60o=，. ∵ ， ∴ =9+2×3×cos120o =6. …………………………………………………………………4分 （2）在△ACD中，∠ADC=180o-∠A-∠DCA=120o-θ， 由正弦定理可得，即. ………………………………………5分 在△AEC中，∠ACE=θ+30o，∠AEC=180o-60o-(θ+30o)=90o-θ， 由正弦定理可得：，即， ……6分 ∴ ，………………………7分 令f(θ)=sin(120o-θ)cosθ，0o≤θ≤60o， ∵ f(θ)=(sin120ocosθ-cos120osinθ)cosθ ，………………………………………………10分 由0o≤θ≤60o，知60o≤2θ+60o≤180o， ∴ 0≤sin(2θ+60o)≤1， ∴ ≤f(θ)≤， ∴ ≤≤， ∴ ≥， 即的最小值为．……………………………………………12分 20．解：（1）， 由题意得3ax2+bx+c≥0的解集为{x|-2≤x≤1}， ∴ a0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1． 于是，， 得b=3a，c=-6a． ∵ 3ax2+bx+c0的解集为{x|x-2或x1}， ∴ f(x)在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2 把b=3a，c=-6a，代入得-8a+6 解得a=-1． ……………………………………………………………………5分 （2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得， 即． ∴ ．…………………………………………………………7分 令， ∴ ． 列表如下： x (-∞，-2) -2 (-2，1) 1 (1，+∞) + 0 - 0 + g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴ g(x)在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分 又∵，g(-2)=10，g(0)=0， 由题意知直线y=m与曲线有两个交点， 于是m10.…………………………………………………………………13分 21．解：