D10_习题课--★【汉魅HanMei—课程讲义】.ppt

习题课 一、曲线积分的计算法 解答提示: P184 3(3). 计算 P184 3(6). 计算 2. 基本技巧 例1. 计算 例2. 计算 解法2 思考题解答: 练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 P185 6 . P185 10. 二、曲面积分的计算法 思 考 题 2. 基本技巧 练习: 例3. 例4. 计算曲面积分 例5. 设 ? 是曲面 例6. 计算曲面积分 例7. 作业 备用题 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为 斯托克斯( Stokes ) 公式 * 一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线面积分的计算 第十章 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 练习题: P184 题 3 (1), (3), (6) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算 其中L为圆周 提示: 利用极坐标 , 原式 = 说明: 若用参数方程计算, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P184 3 (1) 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧. 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中?由平面 y = z 截球面 提示: 因在 ?上有 故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中? 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 利用重心公式知 (?的重心在原点) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, 解法1 令 则 这说明积分与路径无关, 故 a 为半径的上半圆周. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它与L所围区域为D, (利用格林公式) 思考: (2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分: (1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分: 则 添加辅助线段 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算 其中L为上半圆周 提示: 沿逆时针方向. 3(5). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设在右半平面 x 0 内, 力 构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关. 提示: 令 易证 F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求力 沿有向闭曲线 ? 所作的 功, 其中 ? 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 提示: 方法1 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 利用对称性 角形的整个边界, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设三角形区域为? , 方向向上, 则 方法2 利用斯托克斯公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 基本方法 曲面积分 第一类( 对面积 ) 第二类( 对坐标 ) 转化 二重积分 (1) 统一积分变量 — 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 第一类: 始终非负 第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例. 2) 设曲面 问下列等式是否成立? 不对 ! 对坐标的积分与 ? 的侧有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P185 题4(3) 其中 ? 为半球面 的上侧. 且取下侧 , 提示: 以半球底面 原式 = P185 题4(