2013高中数学高考题详细分类考点44曲线与方程、圆锥曲线的综合应用（参考）.doc

曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 一、选择题 1.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A） （B） （C） （D） 【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质，在求解时首先求得抛物线的焦点坐标，然后求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可. 【解析】选B，由抛物线的焦点，双曲线的一条渐近线方程为，根据点到直线的距离公式可得，故选B. 2. 抛物线C1：y=x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ） A. B. C. D. 【解题指南】 本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p的值. 【解析】选D. 经过第一象限的双曲线的渐近线为.抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即. 二、填空题 3.抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________. 【解题指南】A、B、F三点坐标都能与p建立起联系，分析可知△ABF的高为P，可构造p的方程解决. 【解析】由题意知△ABF的高为P，将代入双曲线方程得A，B两点的横坐标为，因为△ABF为等边三角形，所以，从而解得，即. 【答案】6. 4.已知直线交抛物线于两点。若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为___________ 【解题指南】 点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为的圆，数形结合可得。 【解析】联立直线与抛物线得，满足题设条件的点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为。由数形结合可知当时满足题设要求，解得。 【答案】. 三、解答题 5.已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点. (1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积. (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由. 【解题指南】（1）利用OB的垂直平分线求出AC的长，再求面积； （2）若是菱形，则OA=OC，A点与C点的横坐标相等或互为相反数。 【解析】（1）线段OB的垂直平分线为，或，，所以菱形面积为错误！未找到引用源。|OB|·|AC|=错误！未找到引用源。×2×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. （2）四边形OABC不可能是菱形，只需要证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数. 设OA=OC=r（r1)，则A、C为圆与椭圆的交点. ，,所以A点与C点的横坐标互为相反数或相等， 此时B点为顶点.因此四边形OABC不可能是菱形. 6.椭圆C:错误！未找到引用源。(ab0)的离心率错误！未找到引用源。，a+b=3. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明:2m-k为定值. 【解题指南】（1）借助椭圆中的关系及两个已知条件即可求解；（2）可以写出BP的直线方程，分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P、M的坐标，再利用DP与x轴表示点N的坐标，最终把m表示成k的形式，就可求出定值；另外也可设点P的坐标，把k与m都用点P的坐标来表示. 【解析】(1) 因为，所以，又由得，代入a+b=3，得.故椭圆C的方程为. (2)方法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为①， 将①代入，解得P. 直线AD的方程为：. ② 联立①②解得M. 由D（0,1），P，N（x,0）三点共线可知，即，所以点. 所以MN的斜率为m, 则（定值）. 方法二：设，则，直线AD的方程为， 直线BP的方程为，直线DP的方程为. 令y=0，由于，可得. 解可得M， 所以MN的斜率为 =. 故 （定值）. 7.已知抛物线的顶点为原点，其焦点（）到直线：的距离为. 设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线PA，PB,其中A,B为切点. 求抛物线的方程； （2）当点为直线上的定点时，求直线的方程； （3）当点在直线上移动时，求的最小值. 【解题指南】本题以抛物线的切线为载体，考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中，抛物线的性质需要熟练运用. 【解析】（1）因为到直线：的距离为，即，所以（注意），可得抛物线的方程为； （2）设切点，则. 对（即）求导可得，切线的斜率为，将和代入整理可得①，同理切线的斜率为，将和代入整理可得②，由①②可得点都适合方程，也就是当点为直线上的定点时，直线的