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第18卷 第4期 高师理科 学刊 V01．18 No．4 1998年 12月 JournalofScienceofTeachers CollegeandUniversity Dec． 1998 几乎处处可导几乎可导基本上可导的关系 ． 一 樊红云 林营文 =()／ ／ — ． ． — — ． ． — ． 一 (齐齐哈尔大学数学系) (齐齐哈尔化工学校) 0／7／ 摘要 给出了几乎可导、基本上可导概念，并证明了几乎处处可导函数类包含于几乎 可导函数类包含于基奉上可导函数类是真包含关系． 关键词 几乎处处可导 几乎可导 基本上可导 - — _ — — — - — — — — ’ 一 ‘’ — — ‘。 - 、 ‘— — — — — ’— 一 0 问题 的提出 众所周知，有界变差函数是几乎处处可导的，本文给出了和几乎处处可导相近的两个概念 — — 几乎可导与基本上可导．并且讨论了几乎处处可导、几乎可导、基本上可导之间的联系与 区别． 1 定义与结果 本文用尺表示一维欧氏空间，ECR,mE表示点集E的Lebesgue测度． 定义 1 设ECR，， 是E上的实函数， ∈E，如果， 。J有限，且存在有限实数6，对任 意 o，存在 0，当 ∈r一 + n 一{)J时，有J；上生^ 一bll￡则称 ，㈦ 在 点相对于E可导，且称6是 ， 在∞点相对于E的导数，记为 ， ) 6(相对于 E)．如果，r曲 在E中每一点都相对于E可导，则称，f曲在E上可导． 定义2 设E为R中可测集，，r 为E上的实函数，如果存~：NCE，、满足：(1)raN=0， (2)对任意 ，：to∈E＼N，， 在 T．o点都相对于E可导，则称厂㈨ 在E上几乎处处可导． 定义3 设E为R中可测集，， 是E上的实函数，如果存~：NCE，满足：(1)mar=0， (2)，rz)在E一Ⅳ上可导，则称_，r曲 在E上几乎可导． 一 定义4 设E为尺中可测集，， 是E上的实函数，如果对任意E0，都存在可测子集 EgXE，满足：(1)m E，(2)，f 在E＼E上可导，则称厂r曲 在E上基本上可导． 引理 1 若 ， 在．To点相对于E可导，则 ，㈦ 在 T．o点相对于E连续．证明简单，从略． 定理 1 若ffz)在E上几乎处处可导，则ffz)在E上几乎处处连续． 定理2 若 ，f 在E上几乎可导，则ffz)在E上几乎连续． 定理3 若 ，f曲 在E上基本上可导，则 ，㈦ 在E上基本上连续． 上面三个定理由引理 1易证，从略． 定理4 若，f曲在 阳上几乎处处可导，则， 在 阳上几乎可导，反之不真，其 中a 包 证 由定义知若， 在 阳上几乎处处可导，则，r曲在 司上几乎可导，反之不 真．例子如下： + 车文1998年8月Z4日收到． 4 高 师理 科 学刊 第 18卷 设 fl_当曲 gl中有理数时