初中几何中线段和与差最值问题.docx

1 1 初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。基本图形解析： 一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P，使PA+PB 最小； AP点A、B 在直线m A P A m m B B ABP点A A B P A B m m 2、在直线m、n 上分别找两点P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。 A Am A m P P Q Q Am A n n B B Am A m P B Q n A m B n B 两个点都在内侧： AmA A m A P B Q A B n n B 、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n、m 分别上求点D、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. nAB n A B D E n A B m m B 变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短. AQ A Q P An A A m m A 二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点 B 在直线n 上运动，在直线 m 上找一点P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B） 1、两点在直线两侧： n n B m P m A A 2、两点在直线同侧： nBA n B A P A m m A （二）动点在圆上运动 点 B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点 B） 1、点与圆在直线两侧： O O OBBP O B B P P 2 A A PAGE PAGE 3 2、点与圆在直线同侧： O O A OBAPm O B A P A 三）、已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定, 在直线m 上要求P、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A、B 在直线m 两侧： A C A m m P Q P Q B B 作法：过A 点作AC∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线 m 于 Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。 （2）点A、B 在直线m 同侧： A A E B B m m P Q P Q B 基础题 1．如图 1，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是OA、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ． 2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD 和 AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4 ,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M,N 3、如图 3，在锐角三角形ABC 中 ，AB= 5 2 ，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于 D，M、N 分别是 AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。 4、如图4 所示，等边△ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点,E 是 AC 边上一点.若 AE=2,EM+CM 的最小值为 . 5、如图 5，在直角梯形ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点 P 是 AB 上一个动点，当PC＋PD 的和最小时，PB 的长为 ． 7、如图7 菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是 AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 ．8、如图8，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是6、如 7、如图7 菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是 AB 的中点，P 是对角线AC 上的一 个动点，则PE+PB 的最小值为 ． 8、如图8，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、 N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 9、如图 9，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底 3cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm． AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为．11、如图 11，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为 ． 11、如图 11，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN＝30°，B 为 AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点， 则 PA＋PB 的最小值为( ) (A)2 (