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近世代数复习题 一、定义描述（8’） 1、群：设G是一个非空集合， 是它的一个代数运算。如果满足以下条件： （1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）. （2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a . （3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算 做成一个群。 2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即 aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。 3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果： （1）R对加法作成一个加群； （2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）； （3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca . 其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。 4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。 5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。 6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果 （1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在； （2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中 有元素q，r使a=bq + r，r=0 或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。------------- 7、素理想：设R是一个交换环，P ? R .如果ab∈P = a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。 显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子， 亦即R是一个整环。 8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为 a . 9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有 r∈R，a∈N = ra∈N，则称N是环R的一个左理想； 如果 r∈R，a∈N = ar∈N，则称N是环R的一个右理想； 如果N既是R的左理想又是右理想，则称N是环R的一个双边理想，简称理想，并用 符号N ? R表示。否则记为N ? R . 10、商群：群G的正规子群N的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群，称为G关于N的商群，记为G/N . 11、主理想环：设K是一个有单位元的整环。如果K的每一个理想都是一个主理想，则称K是一个主理想整环。整数环和域F上的多项式环F[ x]都是主理想整环。但是，整数环Z上的多项式环Z[ x]不是一个主理想整环。 二、填空（30’） 1、集合M的一个分类决定M的一个等价关系。 2、集合M的一个等价关系决定M的一个分类。 3、设G是一个半群，则G作为成群的充要条件是，对G中任意元素a、b， 方程ax=b , ya=b在G中都有解。 4、群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是： （1）a，b∈H = ab∈H ; （2）a∈H = a-1∈H. 5、设H,k是群G的两个子群，则HK≤G ( HK=KH. 6、整数加群Z是无限循环群。 7、无限循环群a有两个生成元，即a与a-1；n阶循环群有ψ（n）个生成元， 其中ψ（n）为Euler函数。 例如，4、5、6阶循环群分别有ψ（4）=2 ，ψ（5）=4 ，ψ（6）=2 个生成元。 8、设a是任意一个循环群。 （1）若|a|=∞，则a与整数加群Z同构； （2）若|a|=n，则a与n次单位根群Un 同构。 9、循环群的子群仍为循环群。 10、不相连循环相乘时可以交换。 11、k—循环的阶为k；不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍。 12、（J.L.Lagrange，1736—1813）设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|（G：H）.从 而任何子集的阶和指数都是群G的阶的因数。 13、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。 14、左陪集的重要性质 （1）a∈aH . （2）a∈H ( aH=H . （3）b∈aH ( aH=bH . （4）aH=bH，即a与b同在一个左陪集中 ( a-1b∈H（或b-1a∈H）。 （5）若aH∩bH≠φ，则aH=bH .对任二陪集来说，要么相等要么无公共元素。 15、循环群的