几何布朗运动的离散逼近及其应用.pdf

第30卷第 1期 大 学 数 学 Vol_30，№．1 2014年 2月 COLLEGE MATHEMATICS Feb．2014 几何布朗运动的离散逼近及其应用 朱湘赣 (昆明理工大学 理学院，昆明 650093) [摘 要]就离散逼近方法对几何布朗运动表达式作了完整的推导并就其在股票期权，远期合约和GDP 比较中的具体应用作了详细阐述． [关键词]几何布朗运动；远期合约 ；欧式看涨期权；GDP [中图分类号]O212．1 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2014)01—0064—04 1 引 言 对于期望相对增长率为 的正值随机过程s ，若差dS／s--f~dt作布朗运动，即满足dS／s--pdt —ddw (其中 为波动率 ，w ～N(0，f)为标准维纳过程)，或 dS 一 dt+ aSdW ， (1) 则称随机过程 S 的运动为几何布朗运动．可以证 明几何布朗运动还可表述为下面两种等价形式 ： S一S0expE(~一妻 )￡+aW]， (2) 厶 1 lns～N(1nS0+(一寺 。)￡，0-2￡)． (3) 2 离散逼近 假设随机过程 S连续取值(正值)，其期望相对增长率 为常数．现考虑S在时间区间[O，t]内的情 况．为达到离散逼近的 目的，设 S从零时刻开始每隔△￡波动一次，每次波动相互独立 、上下波动等可能 且波动的相对幅度相同．令 一 [t／~t]及 ： 一 eat— Bj△ ， (4) 则对 一 1，2，…， ，各 B 相互独立并服从两点分布 ： P{B曲一口)一P{B必===一n)一寺 ， (5) 其中a 表示B 的波动幅度．通过计算易得 E()一o，Var(B 一n一(筹)△全。， 这里 = 厶t认为是常数并称之为波动率．由2=象得 一 ，}k-~iB=：：± ，式(5)可 写成 [收稿 日期]2o12一lO一03 第 1期 朱湘赣 ：几何布朗运动的离散逼近及其应用 65 P{B ： 4A-7}一P{B 一一 √ )一 1 ． (6) 由(4)得 S 一 S(r1) (1+ △￡+ B弘)， 所 以 S 一S()(1+ ￡+B )一…一S。II(1+ ￡+B )， 从而 InS =lnS。+∑ln(1+ ￡+B )． 利用In(1+ )= 一告z。+o(x)并根据S=S (因0≤ —nat ，且S要隔At才会波动)， 有 lnS=lnS 一lnS。+∑ln(1+．￡+B ) 一 lnS。+∑E(pat+B)一1(￡+Bj~,t)+o()] === lnS。+m／At+∑B 一1∑B +o() 一lnS。+m／At+