2005中考数学分类试题转化思想.doc

转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。 【例题分析】 例1 解方程组 分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为 ，再利用换元法，问题就迎刃而解了。 解：设 原方程组可化为 解之，得 即 解之，得 例2 若m、n、p同时满足下面二式：，求的取值范围。 分析：直接利用已知条件中的两个等式得到的取值范围不好下手，如果换个角度考虑可变形为，令，，，则已知条件可转化为方程组，进而找到a、b与c的关系，可以确定所求式子的取值范围。 解：设，则 由(1)、(2)可得 (3) (4) 此时， (5) 由(3)得 ，由(4)得 由(5)得 例3 如图，中，BC＝4，，P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，面积最大？ 分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得出函数解析式。 解：设BP＝x，的面积为y 作于H 则 化简得 配方得 即P为BC中点时，的面积最大 这时的面积最大值为 例4 已知二次函数过点O(0，0)，A()，B()和C()四点。 (1)确定这个函数的解析式及m的值； (2)判断的形状； (3)若有一动圆⊙M，点M在x轴上，与AC相切于T点，⊙M和OA、OC分别交于点R、S，求证弧长为定值。 分析：(1)由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解析式，进而求出m的值。 (2)分别计算出OA、OC、AC的长即可判定的形状。 (3)这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。 解：(1)的图象过点O(0，0)、A()、B() 解得 二次函数解析式为 的图象过点 (2) 是等边三角形 (3)设点M的坐标为(P，0) ⊙M与AC相切于T点 ⊙M的半径为 若⊙M与OA、OC分别交于则 由(1)、(2)知，是方程的两个根 即的两根为 是等边三角形， 的弧长为（定值） 说明：本例是一个综合问题，尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合，需将几何中的点用坐标表示出来，再通过代数方法列出方程通过距离公式确定的形状，从而确定的度数，最后计算出的弧长。 例5 如图，两圆同心，大圆的弦AD交小圆于B、C两点，AE切小圆于点E，连结CE，直线BE交大圆于P、Q两点，已知BE＝AE＝b，AB＝a。 求证：(1)CD、CE的长是方程的两个根； (2)求PB的长。 分析：此例不仅把线段CD、CE的长作为关于x的一元二次方程的根，还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数，所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CD、CE与实数a、b的等量关系，用含a、b的代数式表示CD、CE的长。 略解：(1)依题意，可证 得CE＝AC 由切割线定理，得，即 又CD＝AB＝a 的长是方程的两个根 (2)由相交弦定理，得 即 解得 （不合题意，舍去） 【易错题分析】 例1. 四边形ABCD中，，AC平分，，，求BC和AB的长。 分析：本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。由已知，AC平分，所以想到由C点作于E，作于F。由已知可求出CF，由，可知CE的长，通过解可求出BC的长。BE也可求，再通过解由勾股定理求出AE的长，这样，AB的长就求出来了。 解：作于E，于F 在中， 在中， 由勾股定理， 综上所述：。 点评：本题有的同