利用柱坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分.pdf

利用柱坐标计算三重积分 利用球坐标计算三重积分 一、利用柱坐标计算三重积分 +∞∞?≤≤+∞≤ → zr zrMzyxM πθ θ 200: ),,(),,( 此处规定 柱面坐标— 1.柱面坐标 22sin cos yxr zz ry rx +=? ? ? ? ? ? = = = θ θ 之间的关系：柱坐与直坐 M(x,y,z) r θ z M(r,θ,z) ),,( zyxMx y z o 水平面— 常数=z 圆柱面— 常数=r 半平面— 常数=θ X Y Z X Y Z X Y Z 用三组坐标面分划得 设 ? ?∫∫∫ Ω dxdydzzyxf ),,( 2.利用柱坐标计算三重积分 dzrdrddrdzrddv θθ == )( θd dr dz x y o z ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω = θθθ rdrdzdzrrf dxdydzzyxf ),sin,cos( ),,( ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫ = = Ω ),( ),( )( )( ),( ),( 2 1 2 1 2 1 ),sin,cos( ]),sin,cos([ : θ θ β α θ θ θ θ θθθ θθθ rz rz r r D rz rz dzzrrfrdrd rdrddzzrrf 化成三次积分为 ∫∫∫∫∫∫ ΩΩ = θθθ rdrdzdzrrfdxdydzzyxf ),sin,cos(),,( 例 1 计算 ∫∫∫ Ω = zdxdydzI ，其中Ω是球面 4222 =++ zyx 与抛物面 zyx 322 =+ 所围的立体. 由 ?? ? ? ? = =解 = zz ry rx θ θ sin cos , ? ? ? = =+ zr zr 3 4 2 22 ,3,1 ==? rz 知交线为 ∫∫ ∫ ?π ?θ= 2 3 2 42 0 3 0 r r zdzrdrdI . 4 13π= 面上，如图，投影到把闭区域 xoyΩ .20 ,30 4 3 : 2 2 π≤θ≤ ≤≤ ?≤≤Ω r rzr ， 例２ 计算 ∫∫∫ Ω += dxdydzyxI )( 22 ， 其中Ω 是曲线 zy 22 = ， 0=x 绕oz轴旋转一周而成 的曲面与两平面 ,2=z 8=z 所围的立体. 由 ? ? ? = = 0 22 x zy 绕 oz 轴旋转得， 旋转面方程为 ,222 zyx 解 =+ 所围成的立体如图， :2D ,422 =+ yx . 2 2 20 20 : 22 ? ? ? ? ? ≤≤ ≤≤ π≤θ≤ Ω zr r :1D ,1622 =+ yx , 8 2 40 20 : 21 ? ? ? ? ? ≤≤ ≤≤ π≤θ≤ Ω zr r 所围成立体的投影区域如 图， 2D 1D ,)()( 21 2222 21 ∫∫∫∫∫∫ ΩΩ +?+= ?=∴ dxdydzyxdxdydzyx III ∫∫ ∫θ= 1 2 8 2 1 D r fdzrdrdI , 3 45 π= ∫∫ ∫θ= 2 2 2 2 2 D r fdzrdrdI ,6 25 π= 原式 =I π 3 45 π? 6 25 π= 336 . ∫∫∫ ?θ= π 8 24 0 2 0 2 2r dzrrdrd ∫∫ ∫ ?θ= π 2 22 0 2 0 2 2r dzrrdrd 二、利用球坐标计算三重积分 yo x z M(x,y,z) r θ ? ),,( θ?rM )0,,( yxM 1.球面坐标 πθπ? θ? 20,0,0: ),,(),,( ≤≤≤≤+∞≤ ??→ r rMzyxM 范围 球面坐标设 : ),,(),,( 的关系 之间与 θ?rzyx 222 2222 cos sinsin cossin zyxr rzyx rz ry rx ++= =++ ? ? ? ? ? = = = ? θ? θ? :三组坐标面是 半平面— 常数=θ 球面半径的 为为球心以 常数 ) ( Ro r ? = X Y Z 0θ x y z o R x y z 0? 圆维面角为 半顶轴是对称轴 顶点在常数 ) ,, ( ? ? zo ??= 2.利用球面坐标计算三重积分 ,),,( ?∫∫∫ Ω dxdydzzyxf设 θ???θ?θ? ddrdrrrrf dxdydzzyxf sin)cos,sinsin,cossin( ),,( 2?= ∴ ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω θ?? θ?θ? ddrdrdv drADdrdAEACrdAB ADACABv sin sin 2=? ==== ??≈Δ 分成许多小区域面把用球面坐标的三组坐标 Ω AB C D ADACABv ??≈Δ ?rdAB = θ?θ drdAEAC sin== drAD = θ?? ddrdrd