数值分析Ch1引论.doc

§1. 数值分析及其特点 1. 数值分析及其主要内容 数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括： (1) 数值逼近插值与拟合、多项式逼近等(Ch2~Ch)； (2) 数值积分(Ch4)； (3) 数值代数求解方程以及特征问题的数值方法(Ch6~Ch9)； () 常微分方程的数值解法(Ch5)。 (1) 首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性； (2) 其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度；(3) 还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。 ，N=32K，1000倍。 例1 分析用Cramer法则解一个阶线性方程组的计算量。 解 计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。 用Cramer法则解一个阶线性方程组需计算个阶行列式，而用定义计算阶行列式需次乘法，故总计共需。 此外，还需次除法。 当时，计算量约为次乘法。即使用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算3000多年才能完成。 可见，Cramer法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。 §2. 数值分析中的误差 1. 误差的类型与来源 (1) 模型误差；(2) 观测误差； (3) 截断误差(方法误差) —模型的准确解与数值方法准确解之间的误差； (4) 舍入误差—实数形式的原始数据与的计算机数据之间的误差。 计算(误差小于0.01)。 解 (截断误差) (舍入误差)。 2. 误差的基本概念 (1) 误差与误差限 设为某量的精确值，为的一个近似值，则称为的（绝对）误差，为的相对误差。 用某种方法确定的误差的某个上界称为的误差限，显然，即，称为的相对误差限。 误差限取决于测量工具和计算方法。 函数值的计算误差 ，为的近似值，则 (多元函数一阶Taylor展式) ，。 §3. 算法的数值稳定性与病态问题 1. 算法的数值稳定性 例3 计算，并做误差分析。 解 。 算法1 ，结果见下表。 又, 。 算法2 ，结果见下表。 n 算法1 算法2 准确值 0 1 2 3 4 5 6 0.1823 0.0885 0.0575 0.0458 0.0208 0.0958 -0.3125 0.1823 0.0884 0.0580 0.0431 0.0344 0.0281 0.0262 0.1823 0.0884 0.0580 0.0431 0.0343 0.0285 0.0243 误差分析: 算法1 ，即在计算过程中误差放大了倍。 算法2 ，即误差缩小了倍。 定义1 若某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小，则称之是数值稳定的，反之称为不稳定算法。 2. 病态问题 例4 将方程，即改为摄动方程，即，其中。 Wilkinson用精密方法计算出其根为： 。 令，其根为，则当 时，。显然反映了初始数据的微小摄动对的影响程度即问题的条件数。 因，故。 1 4 6 8 10~19 20 （坏条件问题） 定义2 若初始数据的微小误差都会对最终的计算结果产生极大的影响，则称这种问题为病态问题（坏条件问题），反之称其为良态问题。 例5 分别将线性方程组 的右端向量和系数矩阵中数据做一个微小变化，具体数据如下： 。 。 然后用精确方法求解，发现其解与原方程解相比发生了很大的变化。 这表明此方程组为病态方程组。 §4. 算法的实现与常用的数学软件 用计算机实现数值分析中的算法通常有两种途径：(1) 用Fortran、C、VB、VC等自编程序；(2) 借助于现成的数学工具软件。 目前常用的数学软件约30余个，可分为通用与专用两大类。 专用系统主要是为解决数学中某个分支的特殊问题而设计的。 1. SAS和SPSS（统计分析）； 2. Lindo、Lingo和CPLEX（运筹与优化计算）； 3. Cayley和GAP（群论研究）； 4. PARI（数论研究）； 5. Origin（科技绘图与数据分析）； 6. DELiA（微分方程分析）等。 通用系统中又可分为数值计算型与解析计算型。 数值计算型：Matlab、Xmath、Gauss、MLAB和Origin等。 解析计算型：Maple、Mathematica、Macsyma、Axiom和Reduce等。 其中Matlab、Mathematica、Maple与另一个面向大众的普及型数学软件Mathcad并称数学软件中的“四大天王”