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离散傅里叶变换（DFT） 傅里叶变换是建立以时间为自变量的“信号” 与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换 关系。对于有限长序列的离散傅里叶变换的表达 式如下： 离散傅里叶反变换式为： 二维离散傅里叶变换的定义 令f(x,y)表示一幅大小为M×N的图像，其中 x=0,1,2,? ? ? ,M-1和y=0,1,2,? ? ?N-1。f 的二维 傅立叶变换可表示为F(u,v)，如下式所示： 其中u=0,1,2,? ? ? ,M-1 和 v=0,1,2,? ? ? ,N-1 频域系统是由F(u,v)所张成的坐标系，其 中u和v用作频率变量。由u=0,1,2,? ? ? ,M-1 和v=0,1,2,? ? ? ,N-1定义的M×N矩形区域常 称为频率矩形。频率矩形的大小与输入图像 的大小相同。 在频域原点处变换的值F(0,0)称为傅里叶变换的直流分量。 二维离散傅里叶逆变换的表达式如下： 傅里叶频谱 令R(u,v)和I(u,v)分别表示F(u,v)的实部和虚 部，则傅里叶频谱定义为： 傅里叶变换的性质 共轭对称性： 周期性： 傅里叶频谱的平移 对于图像f(x,y), f(x,y)的平移不影响傅里叶变 换的幅值，不管图像延X轴平移，沿Y轴平移， 还是两个方向上都有平移，对应的幅值谱和原 始图像是完全一样的。根据此性质，当对图像 进行傅里叶变换后，如果原点不在图像的中心 ，则可以先进行平移，省掉幅值谱的原点不在 图像的中心带来的麻烦。 函数fft2 F=fft2(f) 返回一个大小仍为M×N的傅立叶变换。 使用傅立叶变换进行滤波时，需要对输入数 据进行零填充。 F=fft2(f,P,Q) 使用该语法， fft2将使用所要求的0的个数对 输入图像进行填充，以便结果函数的大小为 P×Q。 频谱函数abs s=abs(F) 返回傅里叶变换的频谱。 F=fft2(f); S=abs(F); imshow(S,[ ]) 将频谱的原点移动到频率矩形的中心： F=fft2(f); Fc=fftshift(F); S=abs(Fc); imshow(S,[ ]) 改变频谱显示的动态范围： F=fft2(f); Fc=fftshift(F); S=abs(Fc); S2=log(1+S); imshow(S2,[ ]) 傅里叶逆变换 f=ifft2(F) f1=real(f) 频域滤波与线性空间滤波 两个空间函数的卷积可以通过计算两个傅立 叶变换函数的乘积的逆变换得到。相反地，两 个空间函数的卷积的傅立叶变换恰好等于两个 函数的傅立叶变换的乘积。 f(x,y)*h(x,y) = H(u,v) F(u,v) f(x,y)h(x,y) = H(u,v)*F(u,v) 频域滤波的原理 线性空间滤波由图像f(x,y)与滤波掩膜h(x,y) 卷积完成的。根据卷积定理，在频域中可以通 过让F(u,v)乘以H(u,v)来得到相同的结果，即空 间滤波器的傅立叶变换， H(u,v)称为滤波传递 函数。 频域滤波的目的是选择一个滤波器的传递函 数，以便按照指定的方式修改F(u,v)。 折叠误差干扰 使用DFT进行滤波操作，则图像及其变换都 将自动地看成是周期性的。若周期关于函数的 非零部分的持续时间很靠近，则对周期函数执 行卷积运算会导致相邻周期之间的干扰，称为 折叠误差的干扰。可以通过使用零填充来填充 函数的方法来避免。 零填充 假设函数f(x,y) 和h(x,y)的大小分别为A x B 和 C x D。通过对f 和 h补零，构造两个大小 均为 P x Q 的扩充的函数。通过选择 P≥ A+C-1 Q≥ B+D-1 以避免折叠误差。 通过使用用户自定义函数paddedsize计算 PQ。