数字与信号处理 第3章.ppt

　　3． Chirp－Z变换 　 设序列x(n)长度为N，要求分析z平面上M点频谱采样值，设分析点zk为  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3.4.20） 式中A和W为复数，用极坐标形式表示为 (3.4.21) 图3.4.5 重叠相加法时域波形 3.4.2 用DFT对信号进行谱分析 1． 用DFT对连续信号进行谱分析 　 工程实际中，经常遇到连续信号xa(t)，其频谱函数Xa(jΩ)也是连续函数。为了利用DFT对xa(t)进行频谱分析，先对xa(t)进行时域采样，得到x(n)=xa(nT)，再对x(n)进行DFT，得到的X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间［0，2π］上的N点等间隔采样。这里x(n)和X(k)均为有限长序列。 　　然而，由傅里叶变换理论知道，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间必然为无限长。所以严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。因此，按采样定理采样时，上述两种情况下的采样序列x(n)=xa(nT)均应为无限长，不满足DFT的变换条件。实际上对频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生频谱混叠失真，可用预滤波器滤除幅度较小的高频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率。 　　对于持续时间很长的信号，采样点数太多, 以致无法存储和计算，只好截取有限点进行DFT。由上述可见，用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。实际上从工程角度看，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。因此，在下面分析中，假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。 　　设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc，如图3.4.6(a)所示。xa(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ)，对xa(t)进行时域采样得到x(n)=xa(nT)，x(n)的傅里叶变换为X(ejω)。由假设条件可知x(n)的长度为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3.4.5)  式中，T为采样间隔，Fs=1/T为采样频率。用X(k)表示x(n)的N点DFT，下面推导出X(k)与Xa(jΩ)的关系，最后由此关系归纳出用X(k)表示Xa(jΩ)的方法，即用DFT对连续信号进行谱分析的方法。 　　由（2.4.3）式知道，x(n)的傅里叶变换X(ejω)与xa(t)的傅里叶变换Xa(jΩ)满足如下关系：  将ω=ΩT代入上式，得到:  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3.4.6)  式中 def 表示模拟信号频谱Xa(jΩ)的周期延拓函数。 由x(n)的N点DFT的定义有  (3.4.7) 将(3.4.7)式代入(3.4.6)式, 得到：  (3.4.8) (3.4.8)式说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系。为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量，整理（3.4.8）式。令 def 则（3.4.8）式变为   由此可得  （3.4.10） (3.4.9) 式中，F表示对模拟信号频谱的采样间隔，所以称之为频率分辨率，Tp=NT为截断时间长度。 (3.4.11) N 1 1 s s F NT T F = = = 图3.4.6 用DFT分析连续信号谱的原理示意图 (3.4.10)式说明，可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T，近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期［0, fs］上的N点等间隔采样 ，如图3.4.6所示。对满足假设的持续时间有限的带限信号，在满足时域采样定理时， 包含了模拟信号频谱的全部信息（k=0, 1, 2, …, N/2, 表示正频率频谱采样; k=N/2+1，N/2+2，…，N－1, 表示负频率频谱采样）。 　　所以，上述分析方法不丢失信息，即可由X(k)恢复Xa(