物理竞赛分类汇编 万有引力定律(教师版)汇总.doc

竞赛题汇编1 万有引力定律 （20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°。已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10－11Nm2/kg2，太阳质量mS=1.99×1030kg，试求P到太阳S的距离rP 一、参考解答： 解法一 取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为 （1） a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示． 以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有 SP （2） S P 设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得 （3） （4） 图1由图1可知，P点的坐标 图1 （5） （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得 （7） 根据求根公式可得 （8） 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得 (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 (10) 式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有 （11） 得 （12） 代入有关数据得 (13) 设P点速度方向与的夹角为(见图2)，根据开普勒第二定律 （14） SP S P 其中为面积速度，并有 （15） 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得 （16） 图2 图2 解法二 取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为，取逆时针为正向，用r、表示彗星的椭圆轨道方程为 （1） 其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知 （2） 将（2）式代入（1）式可得 （3） 以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有 （4） 在近日点，由（3）式可得 （5） 将、、的数据代入（3）式即得 （6） 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 (7) 式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有